구름은 구가 아니요, 산은 원뿔이 아니다.

만델브로트(1924～)

2 닮음의 활용

  피라미드와 같이 높은 건물이든 방금 싹이 튼 조그만 풀이든 같은 태양 아래에서 잰

높이에 대한 그림자 길이의 비는 항상 일정하다.

  이러한 원리는 삼각형의 닮음의 성질에서 알 수 있고, 또 그 성질을 이용하면 피라

미드의 높이를 알 수 있다.

  닮음의 성질은 항해하는 배에서 멀리 뭍에 있

는 등대까지의 거리를 알 수 있게 해 주고, 터널

을 뚫을 때에도 보이지 않는 곳을 향하여 방향을

정할 수 있게 해 준다.

□ 206   Ⅷ. 도형의 닮음

2-1 삼각형의 무게중심

2-2 닮음의 활용

● 닮음을 활용하면 멀리 있는 것도 알 수 있다.

2. 닮음의 활용  261 □

2

1

삼각형의 무게중심

⇋ 익힘책 287쪽～289쪽

새로운 용어

중선・무게중심

학습 목표   삼각형의 무게중심의 뜻과 성질을 이해한다.

받침점까지의 거리의 비를 잘 맞추면 무거운 사람과 가벼운 사람이 같이 시소를 즐길 수 있듯

이, 모든 물체는 중심을 잘 잡으면 균형을 이룰 수 있다.

  손가락을 이용하여 책받침, 쟁반 등을 돌릴 때, 손가락을 물건의 어디에 두어야 떨어뜨리지

않고 잘 돌릴 수 있을까?

삼각형의 무게중심

 준비물 : 두꺼운 종이      또는 합판, 손잡이가 달    린 집게 (더블 클립), 실    또는 끈, 추

아래 그림과 같이 두꺼운 종이로 삼각형을 만들어 다음 순서로 실험하여 보자.

이때, 집게의 한쪽 손잡이에 실을 위아래로 충분히 길게 매어 아래쪽 끝에는

추를 달아 놓는다.

➊ 집게를 삼각형의 한 꼭짓점에 물린다. 이때, 위쪽의 실을 들어 삼각형과 추가 자연

   스럽게 아래로 쳐지도록 한다.

➋ 추를 달아 놓은 실이 지나는 자리를 삼각형 위에 표시한다.

➌ 나머지 두 꼭짓점에서도 실험 ➊과 ➋를 반복한다.

실험 1 실과 삼각형의 각 변이 만나는 점은 각 변의 중점인지 조사하여 보자.

실험 2 삼각형에 표시한 세 선분이 한 점에서 만나는지 조사하여 보자.

실험 3 실험 2에서 찾은 점에 연필을 대고 삼각형을 들어 삼각형이 평형을 유지하는

       지 조사하여 보자.

  수학 실험에서 보았듯이 추를 단 실은 각 변의

중점을 지남을 알 수 있다. 이와 같이 삼각형에

서 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선분을

중선이라고 한다.

□ 262   Ⅷ. 도형의 닮음

  수학 실험에서 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나고, 이 점을 중심으로

삼각형을 들어 올리면 평형을 이루는 것을 살펴보았다.

  이제, 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만남을 증명하여 보자.

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나고, 이때 이 점은

세 중선의 길이를 꼭짓점으로부터 각각 로 나

눈다는 것을 증명하여라.

증명 오른쪽 그림과 같이 에서 중선 과

중선 의 교점을 라고 하자. 점 은 각각

의 중점이므로 삼각형의 중점연결정리에 의

하여

이다. 따라서 ∽이고, 닮음비는 이다. 즉,

한편, 오른쪽 그림과 같이 에서 중선 과

중선 의 교점을 이라고 하면 같은 방법으로

이다. 따라서 와 은 모두 을 로 나누는

점이므로 와 은 같은 점이다.

그러므로 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나고, 이 점은 세 중선의 길이를 꼭짓점

으로부터 각각 2：1로 나눈다.    

  예제 1에서 알 수 있듯이 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다. 이 점을

그 삼각형의 무게중심이라고 한다.

  이상에서 다음을 알 수 있다.

                       2. 닮음의 활용  263 □

          문제

오른쪽 그림의 에서 과 이

각각 중선일 때, 의 값을 각각 구하여라.

          문제

오른쪽 그림에서 는 의 중선이고, 점

와 은 각각 와 의 무게중심이

다. 일 때, 의 길이를 구하여라.

           문제

오른쪽 그림에서 점 는 의 무게중심이

다. 일 때, 다음 도형의 넓이를

구하여라.

(1)           (2)

           대각선 삼등분하기

평행사변형 의 변 의 중점을 각각

이라 하고, 대각선 와 선분 의

교점을 각각 라고 할 때,

임을 증명하여라.

증명 오른쪽 그림과 같이 두 대각선 AC와 BD의 교

점을 라고 하면 이므로 는

의 한 중선이다. 따라서 점 는 에서 두 중선

의 교점, 즉 무게중심이므로

또 에서 같은 방법으로

이다. 그런데 평행사변형의 성질에서 이므로 ①, ②에서

□ 264   Ⅷ. 도형의 닮음

           문제

오른쪽 그림과 같이 평행사변형 에서 변

의 중점을 각각 이라 하고, 대각

선 와 선분 의 교점을 각각 라

고 할 때,

임을 증명하여라.

확인 문제

1 다음 (  ) 안에 설명이 옳으면 ○표, 옳지 않으면 ×표를 하여라.

(1) (    ) 삼각형을 한 중선으로 잘라 생긴 두 개의 삼각형은 서로 닮은 도형

 이다.

(2) (    ) 삼각형을 세 중선으로 잘라 생긴 여섯 개의 삼각형의 넓이는 모두

같다.

2 오른쪽 그림에서 점 는 의 무게중심이

   다. 이고 일 때, 의 길

   이를 구하여라.

3 오른쪽 그림에서 점 는 의 무게중심이다.

   이고 일 때, 의 길이를

   구하여라.

  함께 하는 수학 여행

     아르키메데스

 모든 물체에는 무게중심이 있다

   아르키메데스(B.C. 287B.C. 212)는 한 물체를 두 부분의 합으로 생각하였을 때, 각

부분의 무게중심을 연결한 선분 위에 전체의 무게중심이 있다는 것을 발견하였다.

   그는 삼각형을 가는 막대들을 쌓은 것으로 생

각한다면, 각 막대의 무게중심은 자신의 한 가운

데에 있으므로 삼각형의 무게중심도 각 막대의

무게중심을 연결한 선, 즉 중선 위에 있다는 것

을 알아내었다. 그러므로 삼각형의 무게중심은

중선들의 교점이다.

<참고 문헌：셔먼 스타인, 이우영 역(2006), 아르키메데스, 경문사>

                                                              2. 닮음의 활용  265 □

2

2

닮음의 활용

⇋ 익힘책 290쪽～291쪽

학습 목표   · 닮음비를 이용하여 닮은 도형의 넓이와 부피를 구할 수 있다.

· 닮음을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

수학자들은 닮음의 성질을 이용하여 그림자를 보고 피라미드의 높이를 계산하였으며, 강을

건너지 않고도 강의 너비를 알아내었다. 또 지구의 크기나 어느 지점의 위도는 물론 지구로부터

해와 달까지의 거리도 계산해 내었다.

닮은 도형의 넓이의 비

생각 열기

  아래 그림은 정사각형의 한 변의 길이를 로 계속 축소해 가면서 그린 것이

다. 각 단계에서 새로 만들어지는 정사각형 한 개의 넓이는 어떻게 변하게 될까?

                         ❲1 단계❳             ❲2 단계❳            ❲3 단계❳

오른쪽 그림은 모눈종이에 직사

각형 와 닮음비가 각각

인 직사각형 와 를 그린

것이다. 이때, 다음을 알아보자.

탐구 1 직사각형 와 의 가로의

        길이의 비와 세로의 길이의 비를 각각 구하여 보자.

탐구 2 직사각형 와 의 닮음비를 말하여 보자.

탐구 3 직사각형 와 에는 직사각형 가 각각 몇 개씩 들어 있는가?

탐구 4 직사각형 와 의 넓이의 비를 구하여 보자.

  탐구 활동에서 직사각형 와 의 닮음비는 이다. 또 직사각형 에

는 직사각형 가 개 들어 있고, 직사각형 에는 직사각형 가 개 들어 있으므로 직사각형 와 의 넓이의 비는 , 즉 임을 알 수   있다.

□ 266  Ⅷ. 도형의 닮음

    일반적으로 닮은 두 도형의 넓이의 비는 닮음비의 제곱과 같음을 알 수         있다. 따라서 다음을 얻는다.

오른쪽 그림의 두 사각형 와 는 닮음

비가 인 닮은 도형이다. 사각형 의

넓이가 일 때, 사각형 의 넓이를

구하여라.

풀이 사각형 와 의 넓이의 비는 이다. 이때, 사각형 의 넓이

를 라고 하면          

따라서 사각형 의 넓이는 이다.                             답  

           문제

오른쪽 그림에서 이고,

이다. 일 때,

의 넓이를 구하여라.

           문제

오른쪽 그림과 같이 동심원으로 이루어진 과녁에서 빨간

색 부분의 넓이가 일 때, 노란색 부분의 넓

이를 구하여라.

생각 키우기

도락이는 친구들과 함께 피자집

에 갔더니, 메뉴판이 오른쪽과 같

았다. 피자는 모두 두께가 같은

둥근 원 모양이라고 할 때,

원으로 큰 판 하나를 주문

하는 것이 양이 더 많겠는가? 아니면 중간 판 하나와 작은 판 하나를 주문하는

것이 양이 더 많겠는가?

          2. 닮음의 활용  267 □                                                  

닮은 도형의 부피의 비

다음 그림은 직육면체 모양의 블록 를 이용하여 블록 와 닮음비가 각각

인 직육면체 와 를 쌓은 것이다. 이때, 다음을 알아보자.

탐구 1 직육면체 와 의 가로의 길이의 비, 세로의 길이의 비, 높이의 비를 각각

       구하여 보자.

탐구 2 직육면체 와 의 닮음비를 말하여 보자.

탐구 3 직육면체 와 에는 블록 가 각각 몇 개씩 들어 있는가?

탐구 4 직육면체 와 의 부피의 비를 구하여 보자.

  탐구 활동에서 직육면체 와 의 닮음비는 2：3이다. 또 직육면체 에

는 블록 가 개 들어 있고, 직육면체 에는 블록 가 개 들어 있으

므로 직육면체 와 의 부피의 비는 즉 임을 알 수 있다.

  일반적으로 닮은 두 입체도형의 부피의 비는 닮음비의 세제곱과 같음을

알 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.

□ 268  Ⅷ. 도형의 닮음

오른쪽 그림의 두 원기둥 와 는 닮음비가

인 닮은 도형이다. 원기둥 의 부피가 일

때, 원기둥 의 부피를 구하여라.

풀이 원기둥 와 의 부피의 비는

이다. 이때, 원기둥 의 부피를 라고 하면

따라서 원기둥 의 부피는 이다.                           답  

           문제         

다음 두 입체도형의 부피의 비를 구하여라.

(1) 한 모서리의 길이가 각각 인

   두 정육면체

(2) 지름의 길이가 각각 인 두 공

           문제

오른쪽 그림과 같은 조각품을 만들 때 사용

된 청동의 양이 이라고 하자. 이것과

닮음비가 가 되는 더 큰 조각품을 만들

때 사용되는 청동의 양은 얼마인가?

           문제

오른쪽 그림과 같은 원뿔 모양의 그릇에 원뿔 높이의

반까지 물이 담겨 있다. 담긴 물의 양이 일 때,

이 그릇을 가득 채우려면, 더 부어야 하는 물의 양은 얼

마인가?

         2. 닮음의 활용  269 □                                                    

닮음의 활용

생각 열기

고대 그리스의 수학자 탈레스는 지팡이와 피라미드의 그림자 길이를 이용하

여 피라미드의 높이를 알아내었다고 한다. 어떻게 알 수 있었을까?

빛은 평행하게 들어온다.

햇살이 좋은 어느 날 정오에 현수의 그림자 길이

와 나무의 그림자 길이를 조사하였더니 각각

이었다. 현수의 키가 일 때,

오른쪽 그림을 보고, 다음

을 알아보자.

탐구 1 와 는 서로 닮은 도형인가?

탐구 2 와 의 닮음비를 말하여 보자.

탐구 3 다음 안에 알맞은 것을 써넣고, 나무의 높이를 구하여 보자.

  탐구 활동에서이고 이므로

와 는 닮은 도형이다. 이때, 닮음비는

이고, 이므로 라고 하면

  따라서 나무의 높이는 , 즉 임을 알 수 있다.

  이와 같이 닮은 도형의 성질을 이용하여 생활 속에서 직접 측정하기 어려운

건물이나 나무의 높이 등을 구할 수 있다.

           문제

오른쪽 그림과 같이 석탑의 높이를 측정

하기 위하여 석탑으로부터 떨어

진 거리에 높이가 인 막대를 수직으

로 세웠더니 막대 그림자의 끝이 석탑의

그림자의 끝과 일치하였다. 막대의 그림

자 길이가 일 때, 석탑의 높이를 구하여라.

□ 270  Ⅷ. 도형의 닮음

     문제

오른쪽 그림은 축척이 인 축도이다.

강의 실제 폭은 얼마인가?

확인 문제

1 오른쪽 두 닮은 평면도형에 대하여 다음 물

   음에 답하여라.

   (1) 큰 도형의 둘레의 길이는 작은 도형의

      둘레의 길이는 몇 배인가?

   (2) 큰 도형의 넓이는 작은 도형의 넓이의

      몇 배인가?

2 오른쪽 두 닮은 입체도형에 대하여 다음

물음에 답하여라.

   (1) 큰 도형의 겉넓이는 작은 도형의 겉

넓이의 몇 배인가?

   (2) 큰 도형의 주피는 작은 도형의 부피

의 몇 배인가?

 토론 활동

물체가 식으면서 발산하는 열은 물체의 겉넓이와 관련 있다. 닮음비가

인 두 통 속에 뜨거운 물이 가득 들어 있다고 하자. 이때, 두 통의 겉넓이의 비

는 이지만 통 속에 든 물의 부피의 비는 이므로 큰 통 속의 물이 식는

데에는 작은 통 속의 물이 식는 것보다 더 많은 시간이 걸린다는 것을 알 수 있

다. 서로 닮은 입체도형이라 하더라도 겉넓이에 대한 부피의 비가 달라 여러

가지 다른 현상이 생긴다. 사람이나 동물은 활동하기 위하여 에너지를 만들고,

이 과정에서 열을 발산하게 된다. 사람이 만들어 내는 에너지는 몸의 부피와

관련 있고, 열은 피부를 통하여 발산된다. 일반적으로 추운 곳에서 어린이와

어른 중 누가 추위를 더 많이 느낄까?

                                                             2. 닮음의 활용  271 □

 단원 마무리

1. 도형의 닮음에서 배운 내용을 그림으로 정리하여 보자.

수행 과제

   2. 닮음의 활용에서 배운 내용을 생각해 보면서 중요한 내용이나 인상 깊었던 부분을 그림, 글 등으로 자유롭게 표현하여 보아라.

□ 272  Ⅷ. 도형의 닮음

   함께 하는 수학 여행

  자기 자신과 닮은꼴 곡선

데카르트(15961650)는 ‘등각와선’이라고 부르는 곡선을 발견하였는데, 소용돌이 모양의 이 곡선은 밤에

 나방이 불을 향하여 맴도는 곡선, 조개나 해바라기, 코끼리 이빨에도 나타난다.

    등각와선은 원점 주위를 돌면서 원점으로부터 거리가 일정한 비율로 증가 또는 감소하는 곡선인데, 등각와선은

  이 비율에 의하여 하나로 정해진다.

    중세의 베르누이 집안에는 많은 천재들이 태어났는데, 그 집안의 야콥 베르누이(1654~1705)는 등각와선을

확대경으로 계속 확대하여도 여전히 자신과 합동이고, 그냥 빙글빙글 도는 것처럼 보인다는 것을 발견하였다. 즉,

등각와선은 자기 자신과 닮은꼴인 곡선이다.

베르누이는 이러한 등각와선이 여러 생명체에 나타남을 알고 이 곡선들을 ‘기적의 와선’이라고 불렀다.

       앵무조개                       해바라기                 와선 성운                  태풍의 눈

    그는 자신의 묘비에 이 와선을 그려 주기를 원하였지만, 스위스의 바젤에 있는 묘비에는 아르키메데스

  (B.C.287～B.C.212)의 와선이 그려져 있다.

    아르키메데스의 와선은 등각와선과는 달리, 원점으로부터 거리가 일정한 간격을 유지하는 곡선이다.

                야콥 베르누이의 묘비                               아르키메데스의 와선

                                                                               함께 하는 수학 여행   273 □