		Ⅷ 도형의 닮음
		건물을 지을 때에나 큰 도시를 건설할 때에는 설계 도면을 먼저 만들고, 실물과 동일한 모양으로 작은 모형 을 만들어 전체를 이해하기 쉽도록 하는 것이 필요하다. 이와 같이 두 도형이 크기는 서로 다르더라도 닮은꼴이면 한 쪽을 보고 다른 쪽에 대하여 많은 것을 알 수 있다. 지도를 제작할 때에도 닮은꼴을 이용하기 때문에 지도 상의 거리를 알면 실제 거리를 알 수 있고, 지도 상의 각도를 알면 실제 각도도 알 수 있다. 또 닮음의 성질을 알면 피라미드나 나무의 그림자를 보고 실제 높 이를 알 수 있고, 태양이나 달을 관측하여 지구의 크기나 지구로부터 달까지의 거리 등을 알 수 있다. 이 단원을 통하여 닮음의 뜻과 성질을 알고, 닮음을 활용하여 여러 가지 실생활 문제를 해결할 수 있다.





1 도형의 닮음 \| 2 닮음의 활용

		학습 목표
		1. 삼각형의 중점연결정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
		2. 도형의 닮음의 뜻을 말할 수 있다.
		3. 닮은 도형의 성질을 이해한다.
		4. 삼각형의 닮음조건을 이해한다.
		5. 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비에 대한 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
		6. 닮음비를 이용하여 닮은 도형의 넓ㅇ디와 부피를 구할 수 있다.

원근(遠멀 원 近가까울 근)의 모든 경우는

다섯 가지 수학 용어로 표현할 수 있다.

그것은 점, 선, 각, 면 그리고 입체이다.

레오나르도 다빈치(1452∼1519)

1 도형의 닮음

고대 그리스의 피타고라스(?B.C.569～?B.C.475) 이후로 수학자들은 자연의 곳

곳에 숨어 있는 조화와 비례에 관심을 가졌고, 이러한 생각은 건축이나 미술, 음악 등

에 커다란 영향을 끼쳤다. 그들은 인체의 각 부분도 아름다운 비로 이루어진다고 생각

하였다.

이탈리아의 ‘빈치’라는 마을에서 태어난 레오나

르도는 고대 로마 시대의 비트루비우스라는 건축가

가 쓴 책의 영향을 받아 ‘인체 비례도’를 그렸다.

이 그림에는 사람의 키가 팔을 벌렸을 때와 같

도록 정사각형이 그려져 있고, 팔과 다리는 배꼽

을 중심으로 하는 원을 그리고 있으며, 다리를 벌

려 이등변삼각형을 이루는 모습도 볼 수 있다.

레오나르도는 파촐리에게서 수학을 배웠는데,

파촐리가 쓴 “신성 비례”라는 책의 많은 그림은 레

오나르도가 그린 것이다.

수학 역사의 흐름

기원전7세기

피라미드의 그림자를 보고,

높이를 알다.

탈레스(?B.C.640～?B.C.546)

기원전3세기

지구의 크기를 구함. 에라토스테네스((B.C.275～B.C.194)

1509년

“신성 비례” 출판.

파촐리(1445～1517)

□ 234 Ⅷ. 도형의 닮음

1-1 삼각형의 중점연결정리 1-2 닮은 도형 1-3 삼각형의 닮음조건 1-4 삼각형과 평행선


●화면에 나타나는 것과 필름 속의 그림은 닮은꼴이다.

	1. 도형의 닮음 235 □

1
	1	삼각형의 중점연결정리		⇋ 익힘책 263쪽～264쪽

		학습 목표 삼각형의 중점연결정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

		우리가 물체를 바라보면 두 눈과 물체는 삼각형을 이루고, 이 삼각형의 모양에 따라 물체가 멀리 있는지 가까이 있는지 알 수 있다. 삼각형은 사물을 이해하는 기초를 제공한다.

			삼각형의 중점연결정리

준비물 : 종이, 자, 가위 점 A와 B를 포개어 접으면 선분 AB의 중점 M을 찾을 수 있다.		종이에 예각삼각형을 그린 후 이를 오려 다음 순서로 실험하여 보자. 실험 ➊ 삼각형의 세 꼭짓점을 A, B, C로 표시하고, 변 AB, AC의 중점을 찾아 각각 M, N이라고 한다. ➋ 선분 MN을 따라 접어 꼭짓점 A가 변 BC 위의 점 에 놓임을 확인한다. ➌ 과 이 모두 이등변삼각형임을 이해한다. ➍ 꼭짓점 B와 C도 점 에 오도록 접는다. 이때, 만들어진 사각형은 어떤 사각형인지 말하여 보자.

→ 은 직사각형		수학 실험에서 만들어진 사각형은 직사각형이 므로 에서 // 이고 이다. 즉, 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행이고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 임을 알 수 있다.

□ 236 Ⅷ. 도형의 닮음

	일반적으로 ABC 에서 변 AB 와 변 AC 의 중점을 각각 M 과 N 이라고 하면 , 임을 증명하여 보자. 증명 오른쪽 그림과 같이 선분 MN 의 연장 선 위에 인 점 K 를 잡으면 ANM과 CNK 에서 , ∴ANM ≡ CNK (SAS합동) 따라서 ∠AMN = ∠CKN 이고, 이다. ① 에서 엇각의 크기가 같으므로 // 한편, (가정)과 ②에서 ③, ④에서 □MBCK는 평행사변형이므로 , 이다. 따라서 이고 이다. 이상에서 다음 정리를 얻는다.

문제	오른쪽 그림의 ABC에서 점 M, N이 각각 변 AB, AC의 중점일 때, 다음을 구하여라. (1) 의 길이 (2) 의 크기

1. 도형의 닮음 237 □

문제 삼각형의 중점연결정리의 역이다.	오른쪽 그림과 같이 ABC 에서 변 AB의 중점을 M이라 하고, 가 되도록 위에 점 을 잡을 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 변 BC 위에 인 점 D를 잡을 때, 임을 증명하여라. (2) 과 가 합동임을 증명하여라. (3) , 임을 설명하여라.

	문제 2에서 다음과 같은 삼각형의 중점연결정리의 역을 얻는다.

문제	오른쪽 그림에서 점 N은 변 AC의 중점이고, 일 때, 다음 선분의 길이를 구하여라. (1) (2)

문제 서로 다른 세 직선 에 대하여 ‘ 이고 ’을 줄여서 ‘’이라고 쓰기도 한다.	오른쪽 그림의 에서 점 M은 의 중점이고 일 때, 다음 선분의 길이를 구하여라. (1) (2) (3)

□ 238 Ⅷ. 도형의 닮음

서로 다른 세 직선 에 대하여 이고 이면 이다.			에서 네 변 , , , 의 중점을 차례로 , , , 라고 할 때, 는 평행사변형임을 증명하여라. 풀이 오른쪽 그림과 같이 대각선 를 그으면 에서 점 , 는 각각 변, 의 중점이므로, 삼각형의 중점연결정리에 의하여 , ……① 에서도 마찬가지로 생각하면 , ……② ①, ②에서 , 이다. 따라서 는 한 쌍의 대변이 평행이고, 그 길이가 같으므로 평행사변형 이다.

문제		오른쪽 그림의 에서 점 , , , 는 각각 네 변 , , , 의 중점이다. ,일 때, 의 둘레의 길이를 구하여라.

	확인 문제	1 오른쪽 그림에서 점 M, N, P, Q 는 각각 선분 AB, AC, DB, DC 의 중점이고, cm일 때, 의 길이를 구하여라. 2 오른쪽 그림의 ABC에서 점 는 변 AB의 중점이고 , 일 때, 다음 물음 에 답하여라. (1) ABC 의 둘레의 길이가 20 cm 일 때, PQR 의 둘레의 길이를 구하여라. (2) PQR 와 합동인 삼각형을 모두 구하여라. (3) ABC 의 넓이가 24 cm²일 때, PQR 의 넓이를 구하여라.

1. 도형의 닮음 239 □

1
	2	닮은 도형		⇋ 익힘책 265쪽～268쪽

새로운 용어 닮음・닮음비・닮음의 위치・닮음의 중심		학습 목표 ・도형의 닮음의 뜻을 말할 수 있다. ・닮음의 위치를 이해한다.

		집을 짓거나 도시를 건설할 때에는 먼저 설계도나 모형을 만들어야 한다. 이때, 모형의 크 기는 실물의 크기보다는 매우 작지만, 실물과 닮아 있어 전체 모습을 쉽게 알 수 있게 해 준다.
			닮은 도형

		상윤이는 컴퓨터 프로그램을 이용하여 디지털 사진 원본 ㈎를 여러 모습으로 변형하였다. 그림을 보고, 다음을 알아보자. 탐구 1 ㈏는 ㈎를 어떻게 변형한 것인가? 탐구 2 ㈐는 ㈎를 어떻게 변형한 것인가? 탐구 3 ㈑는 ㈎를 어떻게 변형한 것인가?

㈑는 ㈎를 가로와 세로 모두 두 배로 확대한 것이다.		탐구 활동에서 사진 원본 ㈎를 가로와 세로 모두 일정한 비율로 늘인 것 은 ㈑임을 알 수 있다. 이와 같이 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하여 얻은 도형과 합동 인 도형을 처음 도형과 서로 닮음인 관계에 있다고 하며 닮음인 관계에 있 는 두 도형을 닮은 도형이라고 한다

□ 240 Ⅷ. 도형의 닮음

	오른쪽 그림에서 은 를 두 배로 확대한 것으로 와 은 서로 닮은 도형이다. 이때, 대응하는 꼭짓점은 각각 A 와 A', B 와 B', C 와 C' 이고, 대응하는 변은 각각 , , 이다. 또 대응하는 각은 각각 , , 이다. 이와 같이 와 이 서로 닮은 도형일 때, 기호로 ∽ 과 같이 나타낸다. 기호 ∽ 를 사용하여 닮음을 나타낼 때에는 대응하는 꼭짓점의 순서대로 쓰는 것이 보통이다. 일반적으로 두 도형 P 와 Q 가 서로 닮은 도형일 때, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다. 또 위 그림에서 대응하는 변의 길이의 비를 각각 비교하면 : = : = : = 1 : 2 이고, 대응각의 크기를 각각 비교하면 A = A', B = B', C = C' 임을 확인할 수 있다. 일반적으로 서로 닮은 다각형은 다음과 같은 성질이 있다.
서로 합동인 두 도형은 닮음 비가 1 : 1인 닮은 도형이다.	역으로 대응하는 변의 길이의 비가 모두 같고, 대응하는 각의 크기도 각각 같은 두 다각형은 서로 닮은 도형이다. 서로 닮은 다각형에서 대응하는 변의 길이의 비를 닮음비라고 한다. 예를 들어, 위 그림에서 와 의 닮음비는 1 : 2 이고, 과 의 닮음비는 2 : 1 이다.

1. 도형의 닮음 241 □

		다음 그림에서 ∽ 일 때, 다음을 구하여라. (1) 닮음비 (2) 의 길이 (3) 의 크기 풀이 (1) 와 대응하는 변은 이고, , 이므로 닮음비는 : (2) 닮음비가 2 : 3 이고, 과 대응하는 변은 이므로 2 : 3 : 2 cm : ∴3 cm (3) 과 대응하는 각은 이므로 80° 답 (1) 2 : 3 (2)3 cm (3) 80°

문제	오른쪽 그림에서 ∽ 일 때, 다음을 구하여라. (1) 의 길이 (2) 의 크기

문제	오른쪽 그림은 축척이 5만 분의 1인 지도에 상구, 현정이, 보라네 집을 나타내는 지점을 차례로 A, B, C로 표시한 것이다. 지도에서 = 2 cm, = 4 cm, = 60° 일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 상구와 현정이네 집 사이의 실제 거리를 구하여라. (2) 현정이와 보라네 집 사이의 실제 거리를 구하여라. (3) 현정이네 집에서 상구네 집을 바라보는 방향과 보라네 집을 바라보는 방향 사이의 실제 각도를 구하여라.

□ 242 Ⅷ. 도형의 닮음

	이제, 입체도형에서 닮음의 성질을 알아보자.
	아래 그림의 여러 가지 직육면체에서 다음을 알아보자. 탐구 1 위 직육면체 ㈏～㈑ 중에서 각 모서리를 일정한 비율로 확대한 것은 어느 것인가? 또 그 직육면체는 직육면체 ㈎의 각 모서리를 몇 배 확대한 것인가? 탐구 2 탐구 1에서 찾은 직육면체와 직육면체 ㈎에서 같은 색이 칠해진 면끼리는 서로 닮은 도형인가?

	탐구 활동에서 ㈑는 ㈎의 각 모서리의 길이를 두 배로 확대한 것이다. 이 와 같이 한 입체도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하여 얻은 입체도형 과 합동인 입체도형은 처음 도형과 서로 닮은 도형이다. 이때 대응하는 면 들은 서로 닮은 도형이다. 위 두 닮은 입체도형 ㈎와 ㈑의 닮음비는 대응하 는 모서리의 길이의 비인 1：2이다. 일반적으로 서로 닮은 입체도형에는 다음과 같은 성질이 있다.

문제	오른쪽 그림은 눈금이 고르게 그어진 종이 위에 놓인 서로 닮은 두 육각기둥이다. 다음 물음에 답하여라. (1) 육각기둥 ㈎와 ㈏의 닮음비 를 구하여라. (2) 육각기둥 ㈎의 밑면은 한 변의 길이가 2 cm인 정육각형일 때, 육각기둥 ㈏의 밑면은 어떤 도형인가? (3) 육각기둥 ㈎의 높이가 3 cm일 때, 육각기둥 ㈏의 높이는 몇 cm인가?

1. 도형의 닮음 243 □

		닮음의 위치

	오른쪽 그림은 를 두 배 확대하여 를 그린 것이다. 이때, 다음을 알아보자. 탐구 1 대응하는 두 점 A, E를 연결한 직선과 두 점 B, F를 연결한 직선을 각각 그어 교점 O를 모눈종이 위에 찍어 보자. 탐구 2 직선 CG, DH를 그어 모두 점 O 를 지나는지 확인하여 보자. 탐구 3 , , , 를 각각 구하여 보자. 탐구 4 인지 조사하여 보자.

	탐구 활동에서 와 의 대응하는 점들을 각각 연결한 직선들은 다음 그림과 같이 모두 한 점 O에서 만나는 위치에 있다. 이때, 이므로 점 O에서 대응하는 점들까지의 거리의 비는 모두 같고, 그 비는 두 사각형의 닮음비임을 알 수 있다. 또 위 그림의 에서 점 A와 B는 각각 와 의 중점이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여 와 는 서로 평행이다. 마찬가지로 , 이다. 이와 같이 두 도형에서 대응하는 점들을 이은 직선이 모두 한 점 에서 만나고, 점 O에서 대응하는 점들까지의 거리의 비가 일정할 때, 이 두 도형은 닮음의 위치에 있다고 하고, 점 를 닮음의 중심이라고 한다. 닮음의 위치에 있는 두 도형에서 한 쪽 도형을 확대하거나 축소하면 다른 도형을 얻으므로 닮음의 위치에 있는 두 도형은 닮은 도형이다.

□ 244 Ⅷ. 도형의 닮음

	일반적으로 닮음의 위치에 있는 두 닮은 다각형에서 대응하는 변은 서로 평행이고, 닮음의 중심에서 대응하는 점까지의 거리의 비는 닮음비와 같다. 한편, 닮음의 위치에 있는 두 도형은 닮음의 중심에서 서로 같은 방향에 있을 수도 있고, 다음 그림과 같이 서로 반대 방향에 있을 수도 있다.

에서 , 이므로 삼각형의 중점연결 정리에 의하여 , 이다. 마찬가지로 하면 , , , 임을 알 수 있다.		오른쪽 그림에서 점 를 닮음의 중심으로 하여 ABC를 두 배로 확대한 도형을 모두 그려라. 풀이 먼저 닮음의 중심 와 세 꼭짓점 A, B, C를 잇는 직선을 긋고, 각 직선 위 에 점 O에서 ABC와 같은 방향에 가 되는 점 D, 가 되는 점 E, 가 되는 점 F 를 각각 잡으면 DEF 가 구하는 도형이다. 또 닮음의 중심 O에서 ABC 와 반대 방향에 가 되는 점 D, 가 되는 점 E, 가 되는 점 F을 각각 잡으면 DEF이 구하는 도형이다.

문제	오른쪽 그림에서 점 를 닮음의 중심으로 하여 주어진 사각형을 두 배로 확대한 도형을 모두 그려라.

1. 도형의 닮음 245 □

문제		오른쪽 그림에서 점 를 닮음의 중심으로 하여 ABC 를 배로 축소한 도형을 모두 그려라.

문제		오른쪽 그림의 두 도형이 닮음의 위치에 있다고 할 때, 닮음의 중심을 찾아라.

	확인 문제	1 아래 모눈종이에 숫자 1 모양의 도형이 그려져 있다. 이 도형의 왼쪽에는 그것을 배로 축소한 도형의 아랫변이 그려져 있고, 오른쪽에는 두 배로 확대한 도형 의 아랫변이 그려져 있다. 이 도형들이 닮음의 위치에 있을 때 도형을 완성하 고, 닮음의 중심을 찾아라. 2 다음 ( ) 안에 설명이 옳으면 ○표, 옳지 않으면 ×표를 하여라. (1) ( ) 모든 원은 서로 닮은 도형이다. (2) ( ) 모든 정사각형은 서로 닮은 도형이다. (3) ( ) 모든 이등변삼각형은 서로 닮은 도형이다. (4) ( ) 서로 닮은 두 다각형에서 대응하는 변은 서로 평행이다. (5) ( ) 서로 닮은 두 다각형에서 대응하는 각의 크기는 각각 같다. (6) ( ) 대응하는 변의 길이의 비가 모두 같고, 대응하는 각의 크기도 각각 같은 두 다각형은 서로 닮은 도형이다. (7) ( ) 서로 닮은 두 입체도형에서 대응하는 모서리의 길이의 비는 모두 같다.

□ 246 Ⅷ. 도형의 닮음

1
	3	삼각형의 닮음조건		⇋ 익힘책 269쪽～271쪽

새로운 용어 삼각형의 닮음조건		학습 목표 삼각형의 닮음조건을 이해한다.

		삼각형의 합동조건에서 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기를 모두 조사하지 않고 몇 가지만 알아도 합동임을 알 수 있었다. 이와 마찬가지로 두 도형에서 대응하는 변의 길이의 비와 대응하는 각의 크기의 일부만 조사하여도 닮은 도형인지 알 수 있다.
			삼각형의 닮음조건

준비물: 종이, 컴퍼스, 자, 가위		아래 그림과 같이 변의 길이가 각각 4 cm, 5 cm, 6 cm 인 삼각형을 종이에 그려 라고 하자. 또 세 변의 길이가 의 각 변의 길이의 두 배인 8 cm, 10 cm, 12 cm 인 삼각형을 다른 종이에 그려 이라고 하자. 와 을 오려서 각을 서로 포개어 인지 확인하여 보자.

		수학 실험의 와 에서 이면 이므로 대응하는 변의 길이의 비가 모두 같고, 대응하는 각의 크기가 각각 같다. 따라서 와 은 서로 닮은 도형이다. 즉, 세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같은 두 삼각형은 서로 닮은 도형임을 알 수 있다. 이와 같이 두 삼각형이 서로 닮은 도형임을 알기 위해서는 대응하는 변의 길이의 비와 대응하는 각의 크기를 모두 비교할 필요 없이 몇 가지 조건만 비교하여도 된다.

1. 도형의 닮음 247 □

	앞 수학 실험 외에도 어떤 조건에서 두 삼각형이 닮음인 관계에 있는지 알아보자.
준비물: 종이, 컴퍼스, 자, 각도기, 가위	아래 그림과 같이 , , 인 ABC 와 , , 인 을 그려 다음을 알아보자. 실험 1 의 길이는 의 길이의 두 배인지 확인하여 보자. 실험 2 ABC와 을 오려서 각을 서로 포개어 인지 확인하여 보자.

	수학 실험의 와 에서 의 길이는 의 길이의 두 배이므로 대응하는 변의 길이의 비가 모두 1 : 2로 같다. 또 이므로 대응하는 각의 크기가 각각 같다. 따라서 와 은 서로 닮은 도형이다. 이와 같이 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고 그 끼인 각의 크기가 같은 두 삼각형은 닮은 도형임을 알 수 있다.

문제	다음 그림과 같이 , 인 를 작도하고, 의 길이의 세 배가 되도록 을 긋고 ,인 을 그려 보 자. 이때, 다음을 알아보아라. (1) 의 길이는 의 길이의 세 배인지 확인하여라. (2) 의 길이는 의 길이의 세 배인지 확인하여라. (3) 와 은 서로 닮음인가?

□ 248 Ⅷ. 도형의 닮음

닮음조건을 변(Side)과 각 (Angle)의 첫 글자를 따서 1. SSS 닮음 2. SAS 닮음 3. AA 닮음 이라고 간단히 나타내기도 한다. 삼각형의 합동조건은 닮음비가 1 : 1인 삼각형의 닮음조건과 같다.	이상에서 다음과 같은 삼각형의 합동조건을 얻는다.

문제	다음 삼각형 중에서 서로 닮음인 것끼리 짝지어라. 또 그때의 닮음조건을 말하여라. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

문제	다음 그림에서 서로 닮음인 삼각형을 찾아 기호 ∽를 써서 나타내어라. (1) (2)

1. 도형의 닮음 249 □

문제

다음 그림에서 의 값을 구하여라.

(1) (2)

문제

오른쪽 그림에서 , 이고

일 때, 다음

안에 알맞

은 것을 써넣어라.

(1)

이므로

= 2 :

이다.

(2)

이므로

= 2 :

이다.

문제

오른쪽 그림에서 이고, cm, cm일 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) 임을 증명하여라.

(2) 를 구하여라.

(3) 의 길이를 구하여라.

생각 키우기

서로 닮은 삼각형을 한 가지 모양으로 생각

할 때, 오른쪽 정오각형 속의 그림에는 몇

가지 모양의 삼각형이 있는가?

□ 250 Ⅷ. 도형의 닮음

			인 직각삼각형 의 꼭짓점 에서 변 에 내린 수선의 발을 라고 할 때, ABC ∽ 임을 증명하여라.
			증명 ABC 와 에서 ……① (공통) ……② ①, ②에서 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같으므로 ABC ∽

문제		예제 1의 삼각형에서 다음을 증명하여라. (1) ABC ∽ (2) HBA ∽ HAC

문제		오른쪽 그림에서 의 값을 각각 구하여라.

	확인 문제	다음 ( ) 안에 설명이 옳으면 ○표, 옳지 않으면 ×표를 하여라. (1) ( ) 두 삼각형에서 대응하는 세 각의 크기가 각각 같으면 이들은 서로 닮은 도형이다. (2) ( ) 두 직각삼각형에서 대응하는 한 쌍의 예각의 크기가 같으면 이들은 서로 닮은 도형이다. (3) ( ) 와 에서 이고 이면 이 두 삼각형은 서로 닮은 도형이다. (4) ( ) ABC 와 A'B'C'에서 이면 이 두 삼각형은 서로 닮은 도형이다.

1. 도형의 닮음 251 □

체험 수학

활동 과제

복사 용지는 모두 닮은 도형일까?

복사용 종이인 A4 용지는 A3 용지를 절반으로

나누어 만들고, A3 용지는 A2 용지를, A2 용지

는 A1 용지를, A1 용지는 A0 용지를 절반으로

나누어 만들어 종이의 낭비가 없도록 복사 용지

의 규격을 정하였다. 활동을 통하여 A 용지들이

서로 닮은 도형임을 확인할 수 있다.

색이 다른 A4 용지 두 장

1 A4 용지 한 장을 반으로 잘라 A5 용지를

두 장 만든다.

2 같은 방법으로 A5 용지 한 장을 반으로 잘라 A6 용지를 두 장 만든다.

3 A4, A5, A6 용지를 그림과 같이 각 용지의 한 각이 서로 겹치도록 놓

았을 때, 그 꼭짓점을 지나는 대각선이 모두 겹쳐지는지 확인한다.

1 위 활동에서 크기가 다른 두 복사 용지를 오른

쪽 그림과 같이 한 각이 겹치도록 놓았을 때, 그

꼭짓점을 지나는 대각선이 겹치면 서로 닮은 도

형이라고 할 수 있는 이유를 설명하여 보자.

2 B0, B1, B2, B3, B4, B5 등의 B 용지도 A 용지처럼 계속 절반으로 나누어 만든

것이다.(즉, B4 용지를 절반으로 나누면 B5 용지가 된다.) 위와 같은 방법으로 B4

용지를 이용하여 B5, B6 용지를 만들고, 이 용지들도 서로 닮은 도형인지 확인하

여 보자. 또 A4 용지와 B4 용지가 서로 닮은 도형인지 확인하여 보자.

이와 같이 복사 용지들은 서로 닮은 도형이므로 확대 또는 축소 복사 시에 편리하다.

한 내각의 크기가 서로 같은 두 평행사변형은 닮은 도형인지 토론하여 보자.

□ 252 Ⅷ. 도형의 닮음

1
	4	삼각형과 평행선		⇋ 익힘책 272쪽～278쪽

		학습 목표 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비에 대한 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

		높이가 같은 전신주들이 직선 도로를 따라 서 있는 모습의 사진을 보면 전신주들이 서로 평행 하게 서 있다. 이때, 전신주 밑동 사이의 거리의 비와 전신주 꼭대기 사이의 거리의 비는 어떤 관계가 있을까?
			삼각형과 평행선

		아래 그림과 같이 모눈종이 위의 △ABC에서 변 BC에 평행인 세 직선을 그어 두 변 AB, AC 또는 그 연장선과 만나는 점을 각각 D, P, R와 E, Q, S라고 하자. 다음 안에 알맞은 수를 써넣어라. (1) , , (2) , , (3) , ,

		탐구 활동에서 모눈종이의 눈금을 이용하여 구하면 임을 알 수 있다. 이와 같이 삼각형의 한 변에 평행인 직선을 그었을 때 생기는 선분과 삼각형의 변 사이에 일정한 비가 성립함을 알아보자.

1. 도형의 닮음 253 □

		오른쪽 그림과 같이 에서 변 에 평행인 직선이 변 , 와 만나는 점을 각각 D와 E라고 하면 임을 증명하여라.
		증명 와 에서 는 공통, (동위각) 이다. 즉, 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같으므로 ∽ 이다. 서로 닮은 삼각형에서 대응하는 변의 길이의 비는 모두 같으므로

문제	다음 그림에서 일 때, 의 값을 각각 구하여라. (1) (2)

문제	다음은 오른쪽 그림의 △ABC에서 DE󰁚BC이면 임을 증명한 것이다. 안에 알맞은 것을 써넣어라.

□ 254 Ⅷ. 도형의 닮음

	일반적으로 다음이 성립함을 알 수 있다.

		에서 변 위의 점 D와 변 위의 점 E에 대하여 이면 , 임을 증명하여 보자.
		증명 ADE 와 에서 , 는 공통 이다. 즉, 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인 각의 크기가 같이므로 ∽ 이때, 대응하는 각의 크기는 각각 같으므로 즉, 동위각의 크기가 같으므로 또 나머지 대응하는 변의 길이의 비도 닮음비와 같으므로

문제	다음 그림에서 의 길이를 구하여라. (1) (2) (3)

1. 도형의 닮음 255 □

	일반적으로 다음이 성립함을 알 수 있다.

문제	다름은 오른쪽 그림의 에서 변 위의 점 와 변 위의 점 에 대하여 이면 , 임을 증명한 것이다. 안에 알맞은 것을 써넣어라.

문제	오른쪽 그림과 같이 사각형 의 두 변 의 연장선을 그었더니 한 점 에서 만났다. 이때, 의 길 이를 구하여라.

□ 256 Ⅷ. 도형의 닮음

문제	오른쪽 그림과 같이 인 사다리꼴 에서 이고, , 일 때, 다음을 구하여라. (1) 의 길이 (2) 의 길이

함께 하는 수학 여행 활동 과제	선분의 등분 작도 다음과 같은 선분AB를 삼등분하는 작도법을 알아보자. 작도 ➊ 점 A에서 시작하면서 선분 AB와 일직선 위에 있지 않는 반직선 을 그린다. ➋ 반직선 위에 한 점 P를 정한 다음, 가 되도록 점 Q, R 를 정한다. ➌ 선분 RB를 그린다. ➍ 점 Q를 지나고 에 평행인 직선과 가 만나는 점을 N이라고 한다. ➎ 점 P를 지나고 에 평행인 직선과 가 만나는 점을 M이라고 한다. 그러면 삼각형과 평행선의 성질에서 이다. 따라서 점 M, N은 선분 AB를 삼등분하는 점이다. 위 선분 AB를 오등분하는 작도법을 설명하여 보자. 선분을 등분하는 작도법은 오래전부터 알고 있었지만, 각이나 호를 등분하는 작도법은 많은 수학자들을 괴롭혔다. 아르키메데스(B.C. 287∼B.C. 212)를 비롯한 여러 학자들이 자와 컴퍼스가 아닌 다른 도구를 이용하여 각을 삼등분하는 법을 발견하였지만, 방정식에 대 한 연구의 발전으로 3°를 삼등분하는 작도법(자와 컴퍼스만을 이용)은 없다는 것이 밝혀졌 다. 즉, 1°는 작도할 수 없다.

1. 도형의 닮음 257 □

		평행선 사이의 선분의 길이의 비

준비물: 종이, 자	아래 그림과 같이 직사각형의 종이에 두 직선을 긋고, 종이의 가로선과 평행인 직선으로 접어 보자. 이때 접은 선이 처음 두 두 직선과 만나는 점을 구하여 다음을 알아보자. 실험 1 선분 AB, BC, A'B', B'C' 의 길이를 각각 재어 보자. 실험 2 와 을 각각 구하고, 비교하여 보자.

과 에서 ,	수학 실험에서 선분 AA', BB', CC' 은 서로 평행이고, 이들과 만나는 직선 AC 와 A'C'은 이 평행선들에 의하여 모두 일정한 비율로 나누어짐을 알 수 있다. 이와 같이 세 평행선이 다른 두 직선과 만나서 생기는 선분의 길이의 비가 같음을 증명하여 보자. 오른쪽 그림과 같이 서로 평행인 세 직선 , , 이 두 직선 , 와 만나는 점을 각각 , , , , , 이라고 할 때, 임을 증명하여 보자. 증명 점 를 지나고 직선 에 평행인 직선을 그어 직선 , 과 만나는 점을 각각 , 라고 하면 에서 이므로 ……① 또 과 은 평행사변형이므로 , ……② ①, ②에서 이상에서 다음이 성립함을 알 수 있다.

□ 258 Ⅷ. 도형의 닮음



문제		오른쪽 그림에서 일 때, 의 값을 각각 구하여라.

문제		오른쪽 그림에서 일 때, 선분 AB 의 길이를 구하여라.

	확인 문제	1 오른쪽 사면체에서 , 일 때, 임을 증명하여라. 2 오른쪽 그림에서 일 때, , 의 값을 각각 구하여라. 3 오른쪽 그림은 평행인 네 직선과 두 개의 다른 직선이 교차하여 생긴 점들을 표시한 것이다. 다음 ( ) 안에 식이 옳으면 ○표, 옳지 않으면 ×표를 하여라. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( )

1. 도형의 닮음 259 □