화가나 시인처럼 수학자들의 사고방식은 아름다워야 한다.

아름답지 않은 수학이 영원히 머물 수 있는 자리는 없다.

하디(1877～1947)

2 연립방정식의 풀이와 활용

세상에는 많은 종류의 게임이 있다. 게임은 혼자서 할 수도 있고, 둘 또는 그 이상의

사람이 함께 할 수도 있으며, 기업이나 국가 사이의 거래가 될 수도 있다.

20세기 초 국가들 사이에는 전쟁이 많았고, 수학자들은 어떠한 전략을 세우는 것이

승리에 유리한지 연구하기 시작하였다.

헝가리 출신의 폰 노이만은 1928년에 최선의 전략에 관한 논문을 썼고, 이 논문은

후일에 ‘게임 이론’으로 확장되어 경제학 발전에 큰 공헌을 한다. 폰 노이만은 두 사

람이 하는 게임에서는 연립일차방정식을 이용하여 최선의 전략을 찾을 수 있음을 밝

혀내었다.

1950년 내시는 폰 노이만의 연구 결과를 여러 사람이 하는 게

임에도 적용할 수 있다는 것을 밝혀 1994년에 노벨 경제학상을

수상하였다. 내시의 이야기는 “뷰티풀 마인드”라는 제목의 소설

과 영화로 제작되었다.

수학 역사의 흐름

1928년

게임 이론에 관한 논문 발표.

폰 노이만(1903～0957)

1950년

게임의 평형에 관한 논문 발표.

내시(1928～)

□ 76 Ⅲ. 연립방정식

2-1 연립방정식의 풀이 2-2 연립방정식의 활용


●두 미지수의 값을 구하려면 두 개의 방정식을 세우면 된다.

	2. 연립방정식의 풀이와 활용 77 □

2
	1	연립방정식의 풀이		⇋ 익힘책 89쪽～ 92쪽

새로운 용어 소거․가감법․대입법		학습 목표 · 가감법을 이용하여 연립방정식을 풀 수 있다. 학습 목표 · 대입법을 이용하여 연립방정식을 풀 수 있다.
		산에 오르는 길을 여러 가지 알면 큰 도움이 되고. 여러 길을 알면 새로운 것을 불 수 있다. 연립방정식을 풀 때에도 다양한 방법을 알면 큰 도움이 된다.

			가감법

		정선이는 생수 3병과 우유 1팩을 사 고 1800원을 내었고, 윤진이는 생수 병과 우유 팩을 사고 원을 내었다. 이때, 다음을 알아보자. 탐구 1 생수 1병의 가격을 원, 우유 1팩의 가격을 원이라고 할 때, 연립방정식을 완성하여 보자. 탐구 2 정선이는 윤진이보다 무엇을 더 샀는가? 이때 정선이가 윤진이보다 더 낸 돈 은 얼마인가? 탐구 3 생수 1병과 우유 1팩의 값을 각각 구하여 보자.
		탐구 1에서 세운 연립방정식은 이다. 이때, 등식의 성질을 이용하여 ①에서 ② 를 변끼리 빼면 미지수가 1개인 일차방정식 을 얻는다. 이 방정식을 풀면 이고, 이것을 ②에 대입하면 을 얻는다. 따라서 이 연립방정식의 해는 , 이다.

□ 78 Ⅲ. 연립방정식

	이와 같이 미지수가 2개인 연립방정식을 풀 때에는 먼저 하나의 미지수 를 없애고 미지수가 1개인 방정식으로 고쳐서 푼다. 이때, 연립방정식에서 어느 한 미지수를 없애는 것을 그 미지수를 소거한다고 하며, 두 방정식을 더하거나 빼어서 한 미지수를 소거하여 연립방정식의 해를 구하는 방법을 가감법이라고 한다.

방정식을 풀고 난 후 검산하는 습관을 가진다. 검산 을 방정식 ①, ②에 각각 대입하면 이므로 은 연립방정식의 해이다.		다음 연립방정식을 가감법으로 풀어라. 풀이 를 소거하기 위하여 ①과 ②를 변끼리 더하면 를 ① 에 대입하면 따라서 구하는 해는 이다. 답 ,

문제	다음 연립방정식을 가감법으로 풀어라. (1) (2)

	이제, 연립방정식의 두 방정식에서 소거하려는 미지수의 계수가 서로 다른 경우에 대하여 알아보자.

소거하려는 미지수의 계수의 절댓값을 같게 만든다.		다음 연립방정식을 가감법으로 풀어라. 풀이 를 소거하기 위하여 ②의 양변에 2를 곱하면 ……③ ③에서 ①을 변끼리 빼면 를 ②에 대입하면 따라서 구하는 해는 , 이다. 답 ,

2. 연립방정식의 풀이와 활용 79 □

문제	다음은 연립방정식 을 가감법으로 풀기 위하여 각각 와 를 소거하는 과정이다. 안에 알맞은 수를 써넣어라. (1) (2)

문제	다음 연립방정식을 가감법으로 풀어라. (1) (2) (3) (4)

를 소거하기 위하여 ①의 양변에 4를 곱하고, ②의 양 변에 5를 곱하면 ③과 ④를 변끼리 더하면 을 ①에 대입하여 풀면		다음 연립방정식을 가감법으로 풀어라. 풀이 를 소거하기 위하여 ①의 양변에 3을 곱하고, ②의 양변에 2를 곱하면 ③에서 ④를 변끼리 빼면 를 ①에 대입하면 , 따라서 구하는 해는 이다. 답 ,

문제	다음 연립방정식을 가감법으로 풀어라. (1) (2) (3) (4)

□ 80 Ⅲ. 연립방정식

		대입법

	아래 그림과 같이 접시저울이 평형을 이룰 때, 다음을 알아보자. 탐구 1 [그림 1]에서 는 과 평형을 이루므로 [그림 2]의 대신 을 올려놓아 보자. 이를 이용하여 ㈎에 들어갈 의 개수를 구하여 보자. 탐구 2 [그림 1]의 대신 탐구 1에서 구한 ㈎에 들어갈 을 올려놓아 보자. 이를 이용하여 ㈏에 들어갈 의 개수를 구하여 보자. 탐구 3 [그림 1], [그림 2]를 이용하여 다음 연립방정식을 완성하고, 탐구 1과 탐구 2를 이용하여 이 연립방정식을 푸는 방법을 이야기하여 보자.

	탐구 3에서 세운 연립방정식은 이다. 이때, 미지수 를 소거하기 위하여 ①을 ②에 대입하면 , 즉 을 얻는다. 이 방정식을 풀면 이고, 이것을 ①에 대입하면 을 얻는다. 따라서 연립방정식의 해는 , 이다. 이와 같이 연립방정식에서 한 방정식을 다른 방정식에 대입하여 해를 구하는 방법을 대입법이라고 한다.

2. 연립방정식의 풀이와 활용 81 □

		다음 연립방정식을 대입법으로 풀어라. 풀이 를 소거하기 위하여 ①을 ②에 대입하면 , 을 ①에 대입하면 따라서 구하는 해는 이다. 답 ,

문제	다음 연립방정식을 대입법으로 풀어라. (1) (2)

계수가 간단한 미지수를 택 하여 그 문자에 관하여 풀어 대입법을 이용한다.		다음 연립방정식을 대입법으로 풀어라. 풀이 ②를 에 관하여 풀면 ③을 ①에 대입하면 를 ③에 대입하면 따라서 구하는 해는 이다. 답 ,

문제	다음 연립방정식을 대입법으로 풀어라. (1) (2)

□ 82 Ⅲ. 연립방정식

	괄호가 있는 연립방정식은 먼저 괄호를 풀고, 동류항끼리 계산하여 간단히 한 후 풀면 편리하다.

연립방정식은 가감법과 대입 법 중에서 계산하기 편리한 방법으로 풀면 된다.		다음 연립방정식을 풀어라. 풀이 ①, ②를 풀어 각각 정리하면 ③에서 ④를 변끼리 빼면 를 ④에 대입하면 따라서 구하는 해는 , 이다. 답 ,

문제	다음 연립방정식을 풀어라. (1) (2)

	계수가 소순 분수가 있는 연립방정식은 양변에 적당한 수를 곱하여 각 항의 계수를 정수로 고쳐서 풀면 편리하다.

②의 양변에 분모 3과 2의 최소공배수 6을 곱하여 계수 를 정수로 고친다.		다음 연립방정식을 풀어라. 풀이 ①의 양변에 10을, ②의 양변에 을 곱하면 ③에서 ④를 변끼리 빼면 을 ④에 대입하면 따라서 구하는 해는 , 이다. 답 ,

2. 연립방정식의 풀이와 활용 83 □

문제	다음 연립방정식을 풀어라. (1) (2) (3) (4)

	이상에서 연립방정식의 해가 한 쌍인 경우를 살펴보았다. 이제, 연립방정식의 해가 한 쌍이 아닌 경우를 살펴보자.

②와 ③을 비교하면 좌변은 같지만 우변은 같지 않다.		다음 연립방정식을 풀어라. 풀이 의 계수가 같아지도록 ①의 양변에 2를 곱하면 ③에서 ②를 변끼리 빼면 이므로 이 방정식을 만족하는 는 없다. 따라서 주어진 연립방정식의 해는 없다. 답 해는 없다.

	예제 8에서 알 수 있듯이 두 방정식 중에서 어느 하나의 방정식에 상수를 곱하였을 때, 나머지 방정시과 미지수의 계수가 각각 같고 상수항만 서로 다르면 그 연립방정식의 해는 없다.

문제	다음 연립방정식을 풀어라. (1) (2)

□ 84 Ⅲ. 연립방정식

			다음 연립방정식을 풀어라. 풀이 의 계수가 같아지도록 ①의 양변에 2를 곱하면 이것은 ②와 같으므로 주어진 연립방정식의 해는 를 만족하는 모든 수이다. 즉, 해는 무수히 많다. 답 를 만족하는 모든 수

		예제 9에서 알 수 있듯이 두 방정식 중에서 어느 하나의 방정식에 상수를 곱하였을 때, 두 방정식이 같아지면 그 연립방정식의 해는 무수히 많다.

문제		다음 연립방정식을 풀어라. (1) (2)

	확인 문제	1 다음 연립방정식을 풀어라. (1) (2) (3) (4) 2 연립방정식 의 해가 없을 때, 상수 의 값을 구하여라. 3 연립방정식 의 해가 무수히 많을 때, 상수 의 값을 구하여라.

2. 연립방정식의 풀이와 활용 85 □

2
	2	연립방정식의 활용		⇋ 익힘책 93쪽～ 94쪽

		학습 목표 연립방정식을 활용하여 여러 가지 문제를 풀 수 있다.

		연립방정식을 인터넷 검색을 할 때, 각 사이트의 순위를 쉽고 빠르게 정해 주고, 차량이 지나가는 도로의 위치와 시각을 알려주기도 하며, 대용량의 그림 파일이나 음악 파일을 압축하여 작은 용량으로 만드는 기법에도 활용된다.

			연립방정식의 활용

		오른쪽 그림과 같이 가로의 길이가 42 cm이고, 세로의 길이가 32 cm 인 직사각형 모양의 판자에 크기가 같은 정 사각형 모양의 사진 열두 장을 사방의 여 백과 사진 사이의 간격이 모두 일정하게 붙였다. 이때, 사진의 한 변의 길이와 사진 사이의 간격을 다음 순서로 구하여 보자. 1단계 문제의 뜻을 파악하여 구하려는 것을 미지수 로 놓는다. 사진의 한 변의 길이를 , 사진 사이의 간격을 로 놓자. 2단계 문제에 나타난 조건을 찾아 연립방정식을 세운다. 판자의 가로의 길이가 42 cm, 세로의 길이가 32 cm임을 이용하여 연립 방정식을 세우면 다음과 같다. 3단계 연립방정식을 푼다. 2단계의 연립방정식을 풀면 이다. 4단계 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다. 사진의 한 변의 길이는 cm이고, 사진 사이의 간격은 cm이므로 판자의 가로의 길이는 (cm) 세로의 길이는 (cm) 가 되어 문제의 뜻에 맞는다. 따라서 사진의 한 변의 길이는 cm이고, 사진 사이의 간격은 cm 이다.

□ 86 Ⅲ. 연립방정식

문제에 들어 있는 수량 사이

의 관계를 찾을 때 표나 그림

등을 이용하면 편리하다.

연립방정식을 활용하여 문제를 풀 때에는 다음과 같은 순서로 한다.

어느 박물관의 어른 입장권은 원, 청소년 입장권은 원이다. 어느 날 이 박물관에서 어른 입장권과 청소년 입장권은 모두 장 판매되었고 그날 하루 동안 판매한 입장권의 수입금은 총 원이었다. 어른과 청소년은 각각 몇 명씩 입장하였는가?

	어른	청소년	합계
입장권(장)			300
수입금(원)			100000

풀이 판매된 어른 입장권의 장수를 , 청소년 입장권의 장수를 라고 하면 다음 표를 얻는다.

입장권은 모두 300 장, 수입금은 총 100000원이었으므로 연립방정식을 세우면

②의 양변을 으로 나누면

①의 양변에 을 곱하면

③에서 ④를 변끼리 빼면

을 ①에 대입하면

따라서 어른은 50명, 청소년은 250명 입장했다.

답 어른: 50명, 청소년: 250명

문제

어느 농구 경기에서 한 선수가 2점짜리와 3점짜리를 합하여 모두 11골을 넣어 28점을 얻었다. 이 선수가 넣은 골 중에서 2점짜리와 3점짜리의 개수를 각각 구하여라.

2. 연립방정식의 풀이와 활용 87 □

시속 12 km로 2 km를 뛰

어가는 데 걸린 시간과 시속

3 km로 1 km를 걸어가는

데 걸린 시간을 더하면

(시간)

임을 확인할 수 있다.

동석이는 집에서 3 km 떨어진 학교까지 가는 데 시속 12 km로 뛰어가다가

중간에 시속 3 km로 걸어갔더니 30분 만에 학교에 도착하였다. 동석이가 뛰

어간 거리와 걸어간 거리를 각각 구하여라.

풀이 동석이가 뛰어간 거리를 , 걸어간 거리를 라고 하면 다음 표를

얻는다.

	뛰어갈 때	걸어갈 때	합계
거리(km)
속력(km/h)
시간(시간)

위 표에서 거리와 걸린 시간을 이용하여 연립방정식을 세우면

②의 양변에 12를 곱하면 ③

③에서 ①을 변끼리 빼면

을 ①에 대입하면

따라서 동석이가 뛰어간 거리는 2 km, 걸어간 거리는 1 km이다.

답 뛰어간 거리：2 km, 걸어간 거리：1 km

문제

은하는 주말에 등산을 하는 데 올라갈 때는 시속 2 km로 걷고, 내려올 때는

올라갈 때보다 2 km 더 먼 길을 시속 3 km로 걸었더니 모두 3시간 30분이

걸렸다. 은하가 올라간 거리와 내려온 거리를 다음 순서에 따라 각각 구하여라.

	올라갈 때	내려올 때
거리(km)
속력(km/h)
시간(시간)

(1) 은하가 산을 올라간 거리를 km,

내려온 거리를 km라고 할 때,

오른쪽 표를 완성하여라.

(2) (1)의 표를 이용하여 연립방정식을

세워라.

(3) 연립방정식을 풀어 은하가 올라간 거리와 내려온 거리를 각각 구하여라.

□ 88 Ⅲ. 연립방정식

5% 소금물과 8% 소금물을 섞어서 6% 소금물 900 g을 만들려고 한다. 이

때, 5%와 8%의 소금물을 각각 몇 g씩 섞어야 하는가?

	섞기 전		섞은 후
농도(%)	5	8	6
소금물의 양(g)			900
소금의 양(g)

풀이 5 % 소금물 g과 8 % 소금물 g을 섞는다고 하면 다음 표를 얻는다.

위 표에서 섞기 전과 섞은 후의 소금물의 양과 소금의 양이 각각 같음을 이용하여 연

립방정식을 세우면

②의 양변에 100을 곱하면

①의 양변에 5를 곱하면

③에서 ④를 변끼리 빼면

을 ①에 대입하면

따라서 5% 소금물 600 g과 8% 소금물 300 g을 섞으면 된다.

답 5% 소금물：600 g, 8% 소금물：300 g

문제

6 % 설탕물과 3 % 설탕물을 섞어서 5 % 설탕물 120 g을 만들려고 한다. 이

때, 6 %와 3 %의 설탕물을 각각 몇 g씩 섞어야 하는가?

함께 하는 수학 여행

다른 색의 구슬 수는 같을까?

붉은 통에 있는 구슬은 모두 붉은색이고, 푸른

통에 들어 있는 구슬은 모두 푸른색이다. 붉은 통에

서 구슬 열 개를 꺼내어 푸른 통에 담아 잘 섞은 다

음 푸른 통에서 구슬 열 개를 꺼내어 붉은 통에 담는

다. 이때, 붉은 통에 들어 있는 푸른 구슬의 개수와

푸른 통에 들어 있는 붉은 구슬의 개수는 같겠는가?

2. 연립방정식의 풀이와 활용 89 □

금년 신입생은 작년에 비해

명이 증가하여 명이

므로 작년 신입생은

(명)

이다.

성호네 학교의 금년 신입생은 298명이다. 금년 남자 신입생 수는 작년 남자 신

입생 수보다 5 % 증가하고, 금년 여자 신입생 수는 작년 여자 신입생 수보다

4 % 증가하여 전체적으로 13명이 증가하였다. 금년의 신입생은 남녀 각각 몇

명인가?

풀이 작년도 남자 신입생 수를 , 여자 신입생 수를 라고 하면 다음 표를 얻는다.

	남자 신입생 수(명)	여자 신입생 수(명)	합계(명)
작년			285
증가한 학생 수			13
금년			298

위 표를 이용하여 연립방정식을 세우면

②의 양변에 을 곱하면

①의 양변에 를 곱하면

③에서 ④를 변끼리 빼면

을 ①에 대입하면

따라서 금년 남자 신입생은

(명)

이고, 금년 여자 신입생은

(명)

이다. 답 남자 신입생：168명, 여자 신입생：130명

문제

찬이네 학교의 작년 신입생은 380명이다. 금년 남자 신입생 수는 작년 남자 신

입생 수보다 5 % 증가하고, 금년 여자 신입생 수는 작년 여자 신입생 수보다

2 % 감소하여 전체적으로 5명이 증가하였다. 금년의 신입생은 남녀 각각 몇

명인가?

문제

오른쪽 표에서 가로, 세로, 대각선에 배열된 수의 합

이 모두 같도록 의 값을 구하는 연립방정식을 세

우고, 의 값을 구하여라.

□ 90 Ⅲ. 연립방정식

확인 문제

1 학급 인원이 33명인 연희네 반은 체험 활동으로 청소년 야영장에서 2박3일 야영을 하기로 하였다. 3인용과 4인용 텐트를 합하여 9개를 빌리면 학급 인원 모두가 숙박할 수 있었고, 텐트 안에 남는 자리가 없다고 할 때, 3인용 텐트와 4인용 텐트는 각각 몇 개씩 빌렸는지 다음 순서에 따라 구하여라.

(1) 빌려야 할 3인용 텐트의 개수를 , 4인용 텐트의 개수를 라고 할 때, 다음 표를 완성하여라.

	3인용	4인용	합계
텐트 수(개)
학생 수(명)

(2) (1)의 표를 이용하여 연립방정식을 세워라.

(3) 연립방정식을 풀어 빌려야 할 3인용 텐트의 개수와 4인용 텐트의 개수를 각각 구하여라.

2 다음은 “그리스 시화집”에 실려 있는 문제이다. 연립방정식을 세워 풀어라.

함께 하는 수학 여행

‘일반적인 크기의 지

뢰 찾기 게임을 빨리 해결할

수 있는 방법이 있는가?’라

는 질문은 현재 현상금 100

만 불이 걸려 있는 문제이다.

지뢰 찾기 게임은 연립방정식으로 이루어져 있다

지뢰 찾기 게임은 숫자가 적힌 칸의 주변에 그 숫자만큼 지

뢰가 있다는 것을 이용하여 지뢰가 있는 칸에는 깃발 표시를 하

고, 지뢰가 없는 칸을 모두 열면 끝나는 게임이다.

예를 들어, 오른쪽 지뢰 찾기 게임의 빨간 선 부분

에서 빈칸에 들어 있는 지뢰의 수를 차례로 라고 하면 과

을 각각 중심으로 주변에 지뢰가 1개씩 있으므로 연립방정식

로 나타낼 수 있다. 따라서 이 된다. 이와 같이 지뢰 찾기

게임은 미지수의 값이 0 또는 1인 연립방정식들의 모임으로 이루어져 있다.

2. 연립방정식의 풀이와 활용 91 □


	단원 마무리
	1. 연립방정식에서 배운 내용을 그림으로 정리하여 보자.
	수행 과제
	2. 연립방정식의 풀이와 활용에서 배운 내용을 생각해 보면서 중요한 내용이나 인상 깊었던 부분을 그림, 글 등으로 자유롭게 표현하여 보아라.

□ 92 Ⅲ. 연립방정식