Ⅲ 연립방정식

  세상에는 갖가지 일들이 서로 얽혀 있다.

  이들 중에는 별과 행성들 사이의 중력이라든지, 공기의 온도와 부피 및 압력 사이의 관계처럼 그 얽혀 있

음을 식으로 나타낼 수 있는 경우가 있다. 이러한 식을‘자연의 법칙’이라고 말한다.

  대상과 대상 사이의 관계식에는 여러 가지가 있지만, 그중에서도 매달린 물건의 무게와 늘어나는 정도가

비례하는 용수철저울처럼 일차식의 관계를 가지는 것들이 가장 이해하기 쉽다.

  우리가 하는 게임 중에서 ‘지뢰 찾기’ 나  ‘스도쿠’ , ‘마방진’ 같은 것들은 일차방정식을 푸는 게임이라고

할 수 있다.

  이 단원을 통하여 연립일차방정식과 그 해의 의미를 이해하고, 여러 가지 방법으로 연립방정식을 풀 수

있다.

  1 연립방정식  |  2 연립방정식의 풀이와 활용

학습 목표

1. 미지수가 2개인 일차방정식의 의미를 이해한다.

2. 미지수가 2개인 연립일차방정식과 그 해의 의미를 이해한다.

3. 미지수가 2개인 연립일차방정식을 풀 수 있다.

4. 미지수가 2개인 연립일차방정식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

마음을 열면 어린이라도 즉시 깨달을 수 있다.

“손자산경(孫子算經)” 서문에서

1 연립방정식

  중국의 오래된 수학책 중에서 가장 중요한 것 열 가지를 산경십서(算經十書)라고

하는데, 이 중에는 ‘방정’이라는 용어가 나오는 “구장산술(九章算術)”과 천체의 운행

을 설명한 “주비산경(周���/���1算經)” 그리고 “손자산경(孫子算經)”등이 있다. 중국은 당

나라 이전부터 관리 등을 선발하는 시험에 산경십서를 중요한 과목으로 여겼다. 하지

만 산경십서 중에는 그 제작 연대나 지은이가 분명하게 알려지지 않은 것들도 있다.

  “손자산경”에는 다음과 같은 문제가 나온다.

  ‘커다란 우리 안에 닭과 토끼가 같이 있

다. 머리 수는 모두 35이고, 다리 수는 모두

94이다. 이때, 닭과 토끼는 각각 몇 마리일

까?’

  이러한 문제는 연립방정식을 세워 쉽게 풀 수

있다.

□ 70   Ⅲ. 연립방정식

1-1 미지수가 2개인 일차방정식

1-2 미지수가 2개인 연립일차방정식

※ 위 문제는 “손자산경(孫子算經)” 하권 17번 ‘탕배(蕩씻을 탕 杯잔 배)’ 문제이다.

● 알고 있는 정보를 식으로 나타내면 모르는 것을 알아낼 수 있다.

1. 연립방정식   71 □

1

1

미지수가 2개인 일차방정식

⇋ 익힘책 79쪽～80쪽

학습 목표 · 미지수가 2개인 일차방정식의 의미를 이해한다.

             · 미지수가 2개인 일차방정식의 해의 뜻을 이해한다.

 식물은 사는 시간에 따라 한해살이 식물, 여러해살이 식물로 분류하고, 떳잎의 개수에 따라

미지수가 2개인 일차방정식

정우는 저금통에 백 원짜리 동전과 오백 원짜리 동전만을 모은다. 어느 날

저금통이 가득 차서 동전을 모두 꺼냈더니 그동안 모은 동전 금액의 합이

원이었다. 이때, 다음을 알아보자.

탐구 1 정우가 모은 백 원짜리 동전의 개수를 , 오백 원짜리 동전의 개수를 라고 할 때, 와 사이의 관계식을 구하여 보자.

탐구 2 백 원짜리 동전의 개수가 다음 표와 같을 때, 오백 원짜리 동전의 개수를 각각 구하여 보자.

  탐구 활동에서 백 원짜리 동전 개와 오백 원짜리 동전 개의 합계 금액

이 원이므로 이 성립함을 알 수 있다.

  이와 같이 미지수가 2개이고, 차수가 1인 방정식을 미지수가 2개인 일차

방정식이라고 한다. 일반적으로 두 미지수 와 에 관한 일차방정식은

 ( 는 상수, , )

과 같이 나타낼 수 있다.

           문제

다음 문장을 미지수가 2개인 일차방정식으로 나타내어라.

(1) 세발자전거 대와 두 발 자전거 대의 바퀴 수는 모두 이다.

(2) 가방을 하루에 열 개 만드는 숙련공 명과 하루에 두 개 만드는 초보자 명이 나흘 동안 함께 일하여 만든 가방은 모두 개다.

□ 72  Ⅲ. 연립방정식

  미지수 가 자연수일 때, 방정식 을 참이 되게 하는 의 값을 구하여 보자.

  주어진 방정식의 에 자연수 을 차례로 대입하여 의 값을 구하면 다음 표와 같다.

그런데 이면 의 값이 자연수가 아니므로 방정식 을 참이 되게 하는 자연수 의 값의 순서쌍은 이다.

  이와 같이 방정식을 만족하는 미지수 의 값 또는 그 순서쌍

를 이 방정식의 해라고 하며, 방정식의 해를 구하는 것을 방정식을 푼다고 한다.

방정식 를 와 같이 에 관 하여 푼 다음 의 값을 대입

하여 의 값을 구할 수도 있다.

‘과 ,

’으로 답해도 된다.

미지수 가 자연수일 때, 일차방정식 를 풀어라.

풀이 주어진 방정식 에 자연수 을 차례로 대입하여 의 값을 구하

면 다음 표와 같다.

그런데 의 값도 자연수이므로 방정식 의 해는 이다.                                                          답  ,

           문제

미지수 가 자연수일 때, 다음 일차방정식을 풀어라.

(1)              (2)        

확인 문제

민수는 어머니 심부름으로 사과와 귤을 합하여 원어치

사 왔다. 사과는 한 개에 600원, 귤은 한 개에 250원일 때,

다음 물음에 답하여라.

(1) 민수가 사 온 사과의 개수를 , 귤의 개수를 라고 할

   때, 의 관계식을 구하여라.

(2) 민수가 사 온 사과와 귤의 개수를 각각 구하여라. 

                  1. 연립방정식    73 □

1

2

미지수가 2개인 연립일차방정식

⇋ 익힘책 81쪽～82쪽

새로운 용어

연립일차방정식․연립방정식

학습 목표  미지수가 2개인 연립일차방정식과 그 해의 의미를 이해한다.

  미지수가 두 개인 문제를 해결할 때에는, 주어진 상황을 설명하는 방정식을 하나만 세워서는 문제를 해결하기 어렵다. 이러한 경우에는 두 개의 방정식을 세워 이를 동시에 만족하는 해를 구하여 문제를 해결한다..

미지수가 2개인 연립일차방정식

우리 안에는 강아지와 오리가 같이 들어 있는데, 머리 수는 모두 이고, 다리 수

는 모두 이다. 강아지는 마리, 오리는 마리라고 할 때, 다음을 알아보자.

탐구 1 강아지와 오리의 머리 수가 모두 임을 미지수가 2개인 일차방정식으로 나타

내어 보자. 또 그 해를 구하여 보자.

탐구 2 강아지와 오리의 다리 수가 모두 20임을 미지수가 2개인 일차방정식으로

나타내어 보자. 또 그 해를 구하여 보자.

탐구 3 강아지와 오리는 각각 몇 마리인지 구하는 방법을 설명하여 보자.

  탐구 1과 탐구 2에서 와 사이의 관계식은

            ,   

임을 알 수 있다. 이때, 는 일차방정식 ①과 ②를 동시에 만족하는 자연수이어야 한다.

  먼저 ①과 ②의 해를 각각 구하면 다음 표와 같다

  따라서 두 방정식을 동시에 참이 되게 하는 값은 이므로

강아지는 3마리, 오리는 4마리임을 알 수 있다.

  미지수가 2개인 일차방정식 ①과 ②를 동시에 만족하는 의 값을 구하는 경우, 두 일차방정식을 하나로 묶어서

과 같이 나타낸다.

□ 74  Ⅲ. 연립방정식

  이와 같이 미지수가 2개인 일차방정식을 묶어 놓은 것을 미지수가 2개인 연립일차방정식이라 하고, 간단히 연립방정식이라고 한다. 이때, 각 방정식을 동시에 만족하는 미지수 의 값 또는 그 순서쌍 를 연립방정식의 해라고 하며, 연립방정식의 해를 구하는 것을 연립방정식을 푼다고 한다.

           문제

다음 중에서 , 가 해인 연립방정식을 모두 찾아라.

(1)              (2)

(3)             (4)

           문제

가 자연수일 때, 다음 연립방정식을 풀어라.

(1)           (2)

확인 문제

1 아래 왼쪽 그림은 각 일차방정식과 같은 줄의 칸에 그 일차방정식의 해가 들어 있는 것을 나타낸다. 오른쪽 순서쌍에서 각 일차방정식의 해를 찾아 칸에 써넣고, A, B, C에 알맞은 순서쌍을 각각 구하여라.

2 다음 연립방정식의 해가 일 때, 상수 의 값을 각각 구하여라.

문제 만들기

주사위를 여섯 번 던져서 나오는 눈을 차례로 다음

안에 써넣어 연립방정식을 만들어 보아라.

위 연립방정식의 해 중에서 의 값이 모두 자연수인 경우가 있는지 알아보아라.

                  1. 연립방정식    75 □