2

1

상대도수

⇋ 익힘책 191쪽～ 192쪽

새로운 용어

상대도수

학습 목표   상대도수의 분포를 이해하고, 이를 그래프로 나타낼 수 있다.

인구가 서로 다른 마을의 연간 환자 수를 단순히 비교하여 어느 곳에 환자가 더 많다거나 적다고 하는 것보다 발병 비율을 각각 구하여 비교하는 것이 더 의미 있다.
이와 같이 경우에 따라서는 도수보다 그 도수가 전체에서 차지하는 비율이 더 의미 있을 때가 있다.

상대도수

원그래프는 전체에 대한 각

부분의 비율을 원에 나타낸

그래프이다.

아래 표는 씀씀이네 가족이 재작년과 작년에 지출한 금액과 총 지출에 대한

항목별 지출의 비율을 나타낸 것이다. 다음을 알아보자.

탐구 1  위 표를 완성하여 보자.

탐구 2  위 표에서 연간 지출 비율을 원그래프로 나타내어 보자.

탐구 3 재작년에 비하여 작년의 지출액은 늘어났지만, 지출 비율이 감소한 것에는 어떤 항목들이 있는가?

□ 180    Ⅴ. 통계

독서량이 권 이상 권

미만인 계급의 상대도수는

이다.

탐구 활동에서 교육, 문화비와 기타 비용에 대한 작년 지출액은 재작년 지출액보다 백만 원씩 더 증가했지만, 그 비율은 각각 0.01, 0.02씩 감소하였음을 알 수 있다.
이와 같이 각 자료에서 수량이나 도수를 직접 비교하는 것보다 그 각각이 전체에서 차지하는 비율을 비교하는 것이 더 의미 있을 때가 있다. 이때, 도수의 총합에 대한 각 계급의 도수의 비율을 그 계급의 상대도수라고 한다.
즉, 상대도수는 다음과 같이 구한다.

이제, 상대도수의 분포와 그 특징을 알아보자.
다음 표는 방학 동안 진형이네 반 학생들의 독서량을 조사하여 나타낸도수분포표와 그 상대도수의 분포표이다.

                                                                                                     [표 ]

  [표 1]에서 독서량이 13권 이상16권 미만인 학생 수는 그 계급의 상대

도수가 0.10이므로, 이 계급에 속하는 학생은 전체의 10%이다.

  또 상대도수의 합은 항상 1임을 알 수 있다.

           문제

오른쪽 표는 윤진이네 반 학생들이 1학기 기말 고사에서 받은 전과목 성적의 평균을 조사하여 나타낸 것이다.

각 계급의 상대도수를 구하여 표를 완성하고, 다음 물음에 답하여라.

(1) 평균 성적이 80점 이상 90점 미만인 학생은 전체의 몇 %인가?

(2) 평균 성적이 90점 이상인 학생에게 우수상을 주려고 할 때, 우수상을 받

   는 학생은 전체의 몇 %인가?

                                                              2. 상대도수와 누적도수  181 □

  상대도수의 분포표도 히스토그램이나 도수분포다각형과 같은 모양의 그

래프로 나타내면 자료의 분포를 쉽게 알아볼 수 있다.

상대도수의 분포표를 그래프로 그릴 때에는 가로축에 계급의 끝 값을 차례로 적고, 세로축에 상대도수를 적어 히스토그램이나 도수분포다각형과 같은 방법으로 그린다.

예를 들어, 앞의 [표 1]을 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 

            문제

어느 제과 회사에서 소비자 200명을 대상으로 소금의 양을 달리한 50 g 짜리

과자 중 가장 맛있는 것을 선택하도록 하는 조사를 하였다. 소비자가 선택한 과

자에 들어 있는 소금의 양을 표로 나타내면 다음과 같을 때, 물음에 답하여라.

(1) 각 계급의 상대도수를 구하여 위의 표를 완성하여라.

(2) 오른쪽 모눈종이 위에 상대도수의 분포다각형 모양의 그래프를 그려라.

            문제

오른쪽 그림은 희진이네 반 50명의 하루 평균 통화 시간을 조사하여 상대도수의 분포를 그래프로 나타낸 것이다. 다음 물음에 답하여라.

(1) 평균 통화 시간이 15분 미만인 학생은 전체의 몇 %인가?

(2) 계급값이 8분인 계급에 속하는 학생 수를 구하여라.

□ 182    Ⅴ. 통계

85회 이상 90회 미만인 계급의 상대도수는

   초등학생：

   중학생：

이다.   

  도수의 합계가 서로 다른 두 집단의 분포를 비교할 때에 도수만을 비교

하는 것은 의미가 없으므로 상대도수를 구하여 서로 비교한다.

  다음 표는 초등학생 25명과 중학생 40명의 1분당 맥박 수를 조사하여

도수분포와 그 상대도수의 분포를 나타낸 것이다.

                                         1분당 맥박 수-[표 2]

  위 표에서 85회 이상 90회 미만인 계급의 상대도수는
초등학생：0.32,   중학생：0.25로 초등학생이 중학생보다 높다.

따라서 이 계급에서는 상대적으로 초등학생이 더 많음을 알 수 있다.

한편, [표 2]의 상대도수의 분포표를 분포다각형 모양의 그래프로 나타내면 오른쪽과 같다.

이때, 초등학생이 중학생보다 맥박수가 높은 편임을 알 수 있다.

            문제

다음은 A 중학교와 B 중학교 1학년 학생들이 여름 방학 기간 동안 봉사 활동

을 한 시간을 조사하여 나타낸 표이다. 표를 완성하고, 물음에 답하여라.

(1) 상대도수의 분포다각형 모양의 그래프를 모눈종이 위에 그려라.

(2) 봉사 활동 시간이 시간 이상인 학생의 비율은 어느 학교가 더 높은가?

                                                              2. 상대도수와 누적도수  183 □

확인 문제

오른쪽 표는 어느 중학교 1반과 2반 학생들 중 중간 고사 수학 성적이 80점 이상인 학생 수를 나타낸 것이다.
80점 이상을 받은 학생의 비율이 높은 반은 어느 반인가?

체험 수학

상대도수의 값을 반올림 등으로 어림하여 나타내면 그 합이 이 아닐 수도 있다.

주사위를 던지면 어느 눈이 가장 많이 나올까?

주사위를 던져 나오는 눈의 수를 조사하여 도수와 상대도수의 분포표를 만들

고, 자료의 분포 상태를 비교할 수 있다.

한 모둠에 명 이하               주사위    

1 각 모둠별로 가위바위보를 하여 이긴 사람부터 주사위를 던진다. 이때, 주

  사위를 던지는 횟수는 각 모둠별로 회로 같게 한다.

2 부터 사이의 눈이 나온 횟수를 기록하여 도수분포표를 만든다.

3 도수를 이용하여 상대도수를 구한다.

4 주사위의 눈이 가장 많이 나온 눈과 가장 적게 나온 눈의 수를 찾고, 상대

  도수의 차를 알아본다.

선거에서 어느 후보의 지지율, 고령 인구의 비율 등 전체 자료에 대한 비율이 의미를 갖

는 자료를 모둠별로 조사하고, 그 결과를 발표하여 보자.

다음은 년도 국립국어원 발간 표준국어대사전에서 한글 단어가 첫소리별

로 차지한 쪽수를 조사한 표이다. 이로부터 우리가 많이 사용하는 단어의 분포를

짐작할 수 있다. 이때, 상대도수는 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구한 것

이다.

 준비물

활동 방법

□ 184    Ⅴ. 통계

2

2

누적도수

⇋ 익힘책 193쪽～ 195쪽

새로운 용어

누적도수

학습 목표   누적도수의 분포를 이해하고, 이를 그래프로 나타낼 수 있다.

100 m 달리기 기록을 도수분포표로 정리하면 각 계급의 도수는 잘 나타나지만, 특정 선수의 기록이 빠른 쪽에서부터 대략 몇 째 번에 속하는지 알기는 쉽지 않다. 이럴 때에는 첫 계급부터 그 계급까지의 도수의 합이 편리하게 쓰인다.

누적도수

아래 표는 어느 영화의 관람객 수를 개봉 후 일주일 단위로 집계한 것이다.

개봉일부터 처음 몇 주 동안의 전체 관람객 수를 알아보자.

                                           (단원 : 만 명)

탐구 1 개봉일부터 처음 3주 동안 영화를 본 관람객 수는 모두 몇 명인가?

탐구 2  위 표에서 빈칸을 채워 보고, 개봉일부터 처음 7주 동안 영화를 본 관람객

        수는 얼마나 되는지 구하여 보자.

  탐구 활동의 표에서 개봉일부터

  처음 2주 동안의 관람객 수는  200 + 240 = 440(만 명)

  처음 3주 동안의 관람객 수는  200 + 240 + 160 = 600(만 명)

  처음 4주 동안의 관람객 수는  200 + 240 + 160 + 100 =700(만 명)

……

  처음 8주 동안의 관람객 수는  200 + 240 + …… + 30 = 900(만 명)

임을 알 수 있다.

                                                                             2. 상대도수와 누적도수  185 □

마지막 계급의 누적도수는

도수의 총합과 같다. 

이와 같이 도수분포표에서 각 계급의 도수나 상대도수를 알아보는 대신 어느 계급 미만에 속하는 도수를 알아볼 경우가 있다. 이 경우에는 처음 계급의 도수부터 해당 계급까지의 도수를 더한 것을 구하면 된다.
이때, 처음 계급의 도수부터 차례로 더하여 해당 계급까지의 도수를 더한 합을 그 계급의 누적도수라고 한다.
즉, 각 계급까지의 누적도수는 그 계급의 도수에 바로 이전 계급까지의 누적도수를 더한 것과 같다.

            문제

소수는 보다 큰 자연수 중

에서 과 자신만을 약수로

가지는 수, 즉 약수의 개수가

인 수이다.     

오른쪽 표는 100 이상 700 미만의 수 중에서 소수의 개수를 조사하여 만든 도수분포표이다.
각 계급의 누적도수를 구하여 표를 완성하고, 다음 물음에 답하여라.

(1) 100 이상 400 미만인 소수는 모두 몇 개인가?
(2) 400 이상 700 미만인 소수는 모두 몇 개인가?

첫째 계급의 왼쪽 끝은 누적

도수가 인 것으로 하여 점

을 찍는다.

누적도수의 분포표는 다음과 같은 방법으로 그래프로 나타낼 수 있다.
➊ 가로축에 계급의 끝 값을, 세로축에 누적도수를 적는다.
➋ 각 계급의 큰 쪽의 끝 값과 그 계급의 누적도수를 순서쌍으로 하는 점을 찍는다.
➌ 각 점을 차례로 연결한다.
예를 들어, 다음의 왼쪽 표는 영민이네 반 40 명에 대한 100 m 달리기 기록을 조사하여 만든 누적도수의 분포표이고, 오른쪽 그림은 이 표를 그래프로 그린 것이다.

□ 186    Ⅴ. 통계

앞의 누적도수의 그래프는 100 m 달리기 기록이 빠른 쪽부터 나타내었으므로 달리기 기록이 빠른 쪽에서 몇 째 번인지 아는 데 편리하다.
예를 들어, 달리기 기록이 빠른 쪽에서 7째 번인 학생의 기록은 대략 15.5초이고, 달리기 기록이 18.5초인 학생은 기록이 빠른 쪽에서 대략 33째 번임을 알 수 있다.

          문제

다음은 지킴이가 사는 마을에서 지난 주 가구당 배출한 쓰레기의 양을 조사하여 만든 도수분포표이다. 물음에 답하여라.

(1) 누적도수를 구하여 표를 완성하고, 모눈종이 위에 누적도수의 분포를 나타내는 그래프를 그려라.
(2) 쓰레기 배출량이 22 L 미만인 가구는 전체의 몇 %인가?
(3) 쓰레기 배출량이 적은 쪽에서 19 째 번인 가구의 배출량은 어느 계급에 속하는가?
(4) 쓰레기 배출량이 37 L 인 가구는 배출량이 적은 쪽에서 대략 몇 째 번이라고 할 수 있는가?

확인 문제

오른쪽 그림은 은수네 반 학생들이 등교하는 데 걸리는 시간을 조사하여 누적도수의 분포를 그래프로 나타낸 것이다.
다음 물음에 답하여라.
(1) 은수네 반 학생 수를 구하여라.
(2) 도수가 가장 큰 계급을 구하여라.
(3) 등교하는 데 걸리는 시간이 20분 이상 30분 미만인 학생 수를 구하여라

                                                                               2. 상대도수와 누적도수  187 □

 단원 마무리

1. 도수분포와 그래프에서 배운 내용을 그림으로 정리하여 보자.

수행 과제

2. 상대도수와 누적도수에서 배운 내용을 생각해 보면서 중요한 내용이나 인상 깊었던 부분을 그림, 글 등으로 자유롭게 표현하여 보아라.

□ 188    Ⅴ. 통계

   함께 하는 수학 여행

  컴퓨터로 자료를 정리하고 평균을 구할 수 있다

  스프레드시트를 이용하여 평균을 계산하여 보자.

  다음은 어느 중학교 학년 학생 명의 주말 인터넷 접속 시간을 조사한 도수분포표를 스프레드시트에 작성

하고 평균을 구하는 과정이다.

1.   도수분포표를 작성하고 계급값을 구한다.

  도수분포표는 각 칸에 직접 작성하여 넣는다.

  이때, 도수의 합계는 도수에 해당하는 칸을 마우스로 끌

어 메뉴 바에서 기호 (시그마, 합)를 클릭하면 을 얻

는다.

  또 계급값은 맨 처음 칸인 에 계산 식

‘’를 입력한다. 그 나머지 칸은 마우스를

끌면 자동 계산된다.

2.   (계급값)(도수)와 그 합을 구한다.

   (계급값)(도수)는 맨 처음 칸인 에 계산 식

‘’를 입력한다. 그 나머지 칸은 마우스를 끌면

자동 계산된다.

  그리고 그 합은 해당하는 칸을 마우스로 끌고 메뉴 바에

서 기호 (시그마)를 클릭하면 을 얻는다.

3.   (계급값)(도수)의 합을 도수의 합계로 나누어 평균을

     구한다.       

 평균은 계산 식 ‘’을 입력하면 분을 얻는다.

  따라서 이 학교 학생들의 주말 평균 인터넷 사용 시간은

분임을 알 수 있다.

  이 외에도 컴퓨터 프로그램을 이용하면 자료를 다양한 그

래프로도 나타낼 수 있다.

                                                                               함께 하는 수학 여행   189 □