특정한 수를 나타날 때에는 숫자를 사용하지만 문자를 활용하면 미지의 수를 나타낼 수 있고, 더 일반적인 수의 성질을 쉽게 설명할 수도 있다. 예를 들어,

등과 같이 개별적인 수의 성질을 일일이 다 나열할 수는 없지만 이러한 수의 성질을 문자를 사용하면

와 같이 간단히 표현할 수 있다.

이 단원을 통하여 문자를 활용하여 식을 세우는 방법을 알고, 간단한 방정식의 풀 수 있다.

Ⅲ. 문자와 식

1 문자의 사용과 식의 계산 2 일차방정식

	학습 목표
	1. 문자를 사용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다.
	2. 식의 값을 구할 수 있다.
	3. 일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.
	4. 방정식과 해의 의미를 이해한다.
	5. 등식의 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
	6. 일차방정식을 풀 수 있다.
	7. 일차방정식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

자연이라는 위대한 책은

수학이라는 언어로 쓰여 있다.

갈릴레이(1564∼1642)

1 문자의 사용과 식의 계산

사물에는 그것을 부르는 고유의 이름이 있지만, 경우에 따라서는 고유의 이름 대신 ‘아저씨’, ‘아주머니’, ‘이것’, ‘저것’과 같은 이름을 사용하기도 한다. 또 ‘어떤 것’이나 ‘누구’처럼 미지의 대상을 나타내는 이름도 있다.

수학에서도 특별한 자연수나 도형을 고유의 이름 대신 부르거나 또는 미지의 대상을 나타내는 방법으로 등의 문자를 비롯한 여러 가지 기호들을 사용한다.

사람들이 새로운 생각을 많이 하기 시작한 14∼16세기의 문예 부흥 시대에 이탈리아의 갈릴레이는

‘자연이라는 위대한 책은 우리 눈 앞에 한결같이 펼쳐져 있고, 그 속에는 진정한 철학이 쓰여 있다. 하지만 우리가 그 언어를 먼저 배우기 전에는 그 책을 읽을 수 없다. 그것은 수학이라는 언어로 쓰여 있고, 그 문자는 삼각형이나 원, 그리고 여러 기하학적인 도형이다.’

라고 하였다. 수학은 자연을 이해하는 가장 중요한 언어의 역할을 해 왔고, 오늘날도 그 역할을 하고 있으며, 앞으로도 그러할 것이다.

수학 역사의 흐름

16세기

등호 사용.

레코드(1510～1558)

17세기

라이프니츠

(1646～1716)

□ 102 Ⅲ. 문자와 식

1-1 문자의 사용 1-2 식의 값 1-3 다항식과 일차식 1-4 이차식의 계산


●아! 이름이 없다면 얼마나 불편할까?

	1. 문자의 사용과 식의 계산 103 □

1
	1	문자의 사용		⇋ 익힘책 105쪽～ 107쪽

		학습 목표 문자를 사용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다.
훈민정음		우리가 고유의 글자를 가지고 있지 않을 때에는 각자의 생각을 표현하고 기록할 수 있는 적합한 수단이 없어서 중국의 한자를 빌려 썼지만, 세종대왕이 훈민정음을 만든 이후에는 누구나 쉽게 글을 읽고 쓸 수 있게 되었다. 이와 같이 문자를 사용하면 사물의 이름을 기록할 수 있고 다양하게 활용할 수도 있다.
			문자를 사용한 식

		요리책을 보고, 6인분의 사과 파이를 만들려고 한다. 요리책에 오른쪽과 같이 4인분을 기준으로 재료가 적혀 있을 때, 다음을 알아보자. 탐구 1 다음 각 경우에 필요한 밀가루의 무게를 구하여 보자. (1) 1 인분의 사과 파이를 만들 때 필요한 밀가루는 몇 g인가? (2) 2인분의 사과 파이를 만들 때 필요한 밀가루는 몇 g인가? (3) 6인분의 사과 파이를 만들 때 필요한 밀가루는 몇 g인가? 탐구 2 인분의 사과 파이를 만들 때 필요한 밀가루의 무게를 를 사용하여 식으로 나타내어 보자.

사과 파이를 만들 때 필요한 밀가루의 무게는 인분 : 인분 : 인분 : 이다.		탐구 활동에서 1인분의 사과 파이를 만들 때 필요한 밀가루는 이므로 인분의 사과 파이를 만들 때 필요한 밀가루의 무게는 (g) 으로 나타낼 수 있다. 이와 같이 문자를 사용하면 수량 사이의 관계를 간단한 식으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 한 변의 길이가 인 정삼각형의 둘레의 길이는 로 나타낼 수 있다.

□ 104 Ⅲ. 문자와 식

		버스를 타고 우체국에 가서 원짜리 기념우표를 장 사 오려고 한다. 왕복 버스 요금이 원이라고 할 때, 기념우표를 사 오는 데 드는 총 비용을 문자를 사용하여 나타내어라. 풀이 기념우표 장의 값은 원이고 왕복 버스 요금은 원이다. 따라서 기념우표를 사 오는 데 드는 총 비용은 원 이다. 답 원
문제	다음을 문자를 사용한 식으로 나타내어라. (1) 당 원인 휘발유 의 값 (2) 한 개에 원인 아이스크림 개를 사고 원을 내었을 때의 거스름돈 (3) 의 물이 들어 있는 물탱크에 물을 씩 번 부었을 때, 물탱크에 들어 있는 전체 물의 양
		자동차를 타고 시내 도로를 시속 로 시간 동안 달리다가 고속도로에 진입하여 시속 로 시간 동안 달렸을 때, 자동차가 달린 총 거리를 문자를 사용한 식으로 나타내어라. 풀이 이므로 시속 로 시간 달린 거리는 이고, 시속 로 시간 달린 거리는 이다. 따라서 자동차가 총 달린 거리는 이다. 답

문제	다음을 문자를 사용한 식으로 나타내어라. (1) 자전거를 타고 시속 로 를 달리다가 시속 로 를 달렸을 때 전체 걸린 시간 (2) 원짜리 공책 권과 원짜리 연필 자루의 값 (3) 무게가 인 상자에 한 개에 인 귤 개를 담을 때의 전체 무게

1. 문자의 사용과 식의 계산 105 □

		문자를 사용한 식을 간단히 하기

수와 수 사이의 곱셈 기호는 생략하지 않는다. ∙이고, 이다. ∙는 로 쓰지 않 고, 로 쓴다	문자를 사용하여 나타낸 식에서는 수와 문자, 문자와 문자사이의 곱셈 기호 를 생략하여 간단히 나타낸다. 예를 들어, , 와 같이 쓴다. 우리가 사용하는 문자들은 특정한 수를 대신하거나 일반적인 수를 대신하는 것이므로 수의 계산에서 성립하는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 문자에 대해서도 모두 성립한다. 따라서 문자를 사용한 식에서 곱셈 기호를 생략하여 간단히 나타낼 때에는 다음과 같이 약속한다. 괄호가 있는 곱셈에서도 다음과 같이 곱셈 기호를 생략하여 나타낸다. ,
문제	다음 식을 곱셈 기호 ×를 생략하여 나타내어라. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

문제	다음을 곱셈 기호 ×를 생략한 식으로 나타내어라. (1) 가로의 길이가 cm, 세로의 길이가 cm 인 직사각형의 넓이 (2) 한 모서리의 길이가 cm 인 정육면체의 부피 (3) 원짜리 동전 개와 원짜리 지폐 장의 합계 금액

□ 106 Ⅲ. 문자와 식

로 나타낼 수도 있다. 문제	일반적으로 문자를 사용한 식에서는 나눗셈 기호 를 생략하여 분수의 꼴로 나타낸다. 예를 들어, 와 같이 나타낸다. 다음 식을 나눗셈 기호 를 생략하여 나타내어라. (1) (2) (3) (4) 여러 가지 수량 사이의 관계를 문자를 사용하여 간단히 나타내어 보자.
(1) (2) 로 나타낼 수도 있다.		다음을 문자를 사용한 식으로 나타내어라. (1) 원의 3할 (2) 원의 37 % 풀이 (1) 할을 분수로 나타내면 이므로 원의 할은 (원) 이다. (2) 를 분수로 나타내면 이므로 원의 는 (원) 이다. 답(1) 원 (2) 원

문제	다음을 문자를 사용한 식으로 나타내어라. (1) 정가 원인 가방을 할인하여 판매할 때의 판매 가격 (2) 버스 요금 원을 인상할 때의 요금

1. 문자의 사용과 식의 계산 107 □

문제

밑변의 길이가 이고 높이가 인 삼각형의 넓이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

윗변의 길이가 , 아랫변의 길이가 , 높이가 인 사다리꼴의 넓이를 문자를 사용한 식으로 나타내어라.

십의 자리	일의 자리

십의 자리의 숫자가 이고, 일의 숫자가 인 두 자리 자연수를 문자를 사용한 식으로 나타내어라.

풀이 십의 자리의 숫자가 , 일의 숫자가 이므로, 이 두 자리 자연수를 십진

법의 전개식으로 나타내면

이다. 답

문제

백의 자리 숫자가 , 십의 자리 숫자가 , 일의 자리 숫자가 인 세 자리의 자연수를 문자를 사용한 식으로 나타내어라.

확인 문제

서로 같은 것끼리 연결하여라.

(1) ∙ ∙㉠

(2) ∙ ∙㉡

(3) ∙ ∙㉢

(4) ∙ ∙㉣

(5) ∙ ∙㉤

□ 108 Ⅲ. 문자와 식

1
	2	식의 값		⇋ 익힘책 108쪽～ 110쪽

새로운 용어 대입․식의 값		학습 목표 식의 값을 구할 수 있다.
		상점에서는 물건의 가격을 에 얼마, 한 개에 얼마, 한 묶음에 얼마 등으로 소비자가 계산하기 쉽게 표시한다. 만약 어떤 물건 한 개의 가격이 원이라면 개의 가격은 원이므로 실제 가격은 의 값에 따라 달라진다. 이와 같이 식은 문자가 나타내는 수에 따라 그 값이 정해진다.

			식의 값

		화씨온도가 일 때, 섭씨온도()는 식 로 나타낼 수 있다. 대구에 사는 은하가 뉴욕에 출장 가신 아빠와 전화로 나누는 다음 대화를 읽고, 뉴욕의 기온을 섭씨온도로 나타내어 대구의 기온과 비교하여 보자.

일 때, 의 값이 음수인 경우에는 ( ) 안에 넣어서 대입한다. 문제		탐구 활동에서 화씨온도가 일 때, 섭씨온도는 식 의 문자 대신에 을 넣어 계산하면 이다. 따라서 대구의 기온이 뉴욕보다 높음을 알 수 있다. 이와 같이 문자를 포함한 식에서 문자를 어떤 수로 바꾸어 넣는 것을 문 자에 수를 대입한다고 하고, 대입하여 얻은 값을 식의 값이라고 한다. 예를 들어, 식 의 에 을 대입하면 이므로 일 때, 식 의 값은 이다. 다음 식의 값을 구하여라. (1) 일 때, (2) 일 때,

1. 문자의 사용과 식의 계산 109 □

, 일 때, 식 의 값을 구하여라.

풀이 답

문제

, 일 때, 다음 식의 값을 구하여라.

(1) (2) (3)

가로의 길이가 이고, 세로의 길이가 인 직사각형의 둘레의 길이를 cm 라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) 을 를 사용한 식으로 나타내어라.

(2) , 일 때, 의 값을 구하여라.

풀이(1) 직사각형의 둘레의 길이는 이므로 =이다.

(2), 을 식에 대입하면 ==이다.

답 (1) (2)

문제

가로, 세로의 길이가 각각 , 이고, 높이가 인 직육면체의 겉넓이를 라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) S를 , 를 사용한 식으로 나타내어라.

(2) , , 일 때, S 값을 구하여라.

확인 문제

와 의 값이 다음과 같을 때, 식 의 값을 아래 표에서 찾아 차례로 읽으면 어떤 문장이 되는가?

(1)			(2)			(3)			(4)			(5)


행	랑	운	업	복	학	거	수	미	즐

□ 110 Ⅲ. 문자와 식

1
	3	다항식과 일차식		⇋ 익힘책 111쪽～ 112쪽

새로운 용어 항․상수항․계수․다항식․ 단항식․차수․일차식		학습 목표 다항식과 일차식의 뜻을 알고, 말할 수 있다.
		식을 만들 때에는 숫자와 문자, 그리고 등의 사칙 계산 기호와 괄호 ( ) 등을 사용한다. 또한 식은 기호를 생략하여 간단히 나타낼 수 있고, 문자를 몇 번 사용하는가에 따라 분류할 수 있다.

			다항식과 일차식

		아래 그림에서 노란색 카드에 적힌 것은 여러 개의 공들 중에서 개를 뽑아 그 공에 적힌 수나 문자를 서로 곱하여 얻은 것이다. 이때, 다음을 알아보자. 탐구 1를 만들기 위하여 사용한 개의 공에 적힌 수나 문자를 말하여 보자. 탐구 2, , 을 각각 만들기 위하여 사용된 개의 공에 적힌 수나 문자를 말하 여 보자.

(다항식) = (항) + … + (항) 계수 상수항 항		탐구 활동에서 , , , 과 같이 문자 또는 수의 곱으로 이루어진 식을 항이라 하고, 과 같이 수만으로 된 항을 상수항이라고 한다. 이때, 에서 문자 에 곱해진 수 와 같이 문자에 곱해진 수를 그 문자의 계수라고 한다. 또 탐구 활동에서 노란색 카드에 적힌 식을 모두 더하면 = 이고, 이것은 네 개의 항 , , , 의 합으로 이루어진 식이다. 이와 같이 항의 합으로 이루어진 식을 다항식이라고 한다. 특히, , , , 과 같이 다항식 중에서 하나의 항으로 이루어진 식을 단항식이라고 한다. 예를 들어, 다항식 에서 항은 와 이고, 의 계수는 , 상수항은 이다.

1. 문자의 사용과 식의 계산 111 □

문제

다음 식 중에서 단항식을 모두 찾아라.

(1) (2) (3) (4)

다음 식에서 항, 문자의 계수, 상수항을 찾아 빈칸을 채워라.

	항	문자의 계수	상수항
(1)
(2)
(3)
(4)

식 은 이므로 문자 가 두 번 곱해져 있다.

이와 같이 항에서 곱해진 문자의 개수를 그 항의 차수라고 한다. 따라서 의 차수는 이다.

각 항의 차수가 서로 다른 다항식에서 차수가 가장 큰 항의 차수를 그 다항식의 차수라고 한다. 예를 들어, 다항식 에서 차수가 가장 큰 항은 이고 이 항의 차수는 이므로, 다항식 의 차수는 이다. 특히, 차수가 인 다항식을 일차식이라고 한다. 예를 들어, 다항식 의 차수는 이므로 일차식이다.

다음 식 중에서 일차식을 모두 찾아라.

(1) (2) (3) (4)

십자말풀이

가로 열쇠와 세로 열쇠를 읽고, 다음 빈칸을 채워라.

가로 열쇠

3 수만으로 이루어진 항. 4 차수가 인 다

항식. 7 공약수 중에서 가장 큰 수.

세로 열쇠

1 항의 합으로 이루어진 식. 2 하나의 항으

로 이루어진 식. 5 항에서 곱해진 문자의 개

수. 6 문자에 곱해진 수. 8 식에서 문자 대

신 수로 바꾸어 넣는 것.

문제

차수 2 1 0

문제

확인 문제

□ 112 Ⅲ. 문자와 식

1
	4	일차식의 계산		⇋ 익힘책 113쪽～ 115쪽

새로운 용어 동류항		학습 목표 일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.
		물건을 셀 때, 같은 물건끼리 모아서 세면 편리하다. 돈을 셀 때에도 마찬가지이다. 식을 계산 할 때에도 같은 종류의 식끼리 모아서 계산할 수 있을까? 그런데 식에서 같은 종류의 식이란 어떤 것일까?

			일차식에 수 곱하기와 일차식을 수로 나누기

		다음 그림에서 모형이 개씩 묶음이므로 모형을 식 로 나타낼 수 있다. 이때, 모형은 모두 개이므로 이다.
이다.		탐구 활동에서 식 는 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다. = = = 이와 같이 수와 단항식의 곱셈은 수들을 먼저 곱한 후 문자를 곱한다.
문제		다음 식을 계산하여라. (1) (2) (3) 단항식을 수로 나눌 때에는 수의 계산에서와 마찬가지로 나눗셈을 곱셈으로 고쳐서 계산한다. 예를 들어, 는 다음과 같이 계산할 수 있다.
문제		다음 식을 계산하여라. (1) (2) (3)

1. 문자의 사용과 식의 계산 113 □

	일차식과 수의 곱셈을 모형을 이용하여 알아보자.
	오른쪽 그림에서 모형은 개이고 모형은 개이므로, 모형을 식 으로 나타낼 수 있다. 아래 그림과 같이 을 나타내는 모형이 두 개 있을 때, 이 모형을 식으로 나타내어 보자.

분배법칙 를 이용하여 계산한다. 문제	탐구 활동에서 , 즉 은 분배법칙을 이용하면 과 같이 계산할 수 있다. 이와 같이 일차식과 수의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 그 수를 일차식의 각 항에 곱하여 계산한다. 다음 식을 계산하여라. (1) (2) (3) 일차식을 수로 나눌 때에는 수의 계산에서와 마찬가지로 나눗셈을 곱셈으로 고쳐서 계산할 수 있다.
		을 계산하여라. 풀이 답

문제	다음 식을 계산하여라. (1) (2) (3)

□ 114 Ⅲ. 문자와 식

일차식의 덧셈과 뺄셈

다음 그림은 와 를 모형으로 나타낸 것이다. 모형을 이용하여 와 의 합을

구하여 보자.

동류항

탐구 활동에서 와 는 문자와 차수가 각각 같다.

이와 같이 문자와 차수가 각각 서로 같은 항을 동류항이라고 한다. 특히, 상수항은 모두 동류항이다.

예를 들어, 에서 , 은 각각 동류항이다.

문제

다음에서 동류항끼리 짝지어라.

분배법칙

을 이용하여 계산한다.

탐구 활동에서 와 의 합은 분배법칙을 이용하면

와 같이 계산할 수 있다. 이와 같이 동류항이 있는 다항식에서는 동류항끼

리 모아서 계산한다.

문제

다음 식을 간단히 하여라.

(1) (2) (3)

문제

오른쪽 표에서 가로, 세로, 대각선의 식의 합이 모두 같도록 빈칸에 알맞은 식을 써넣어라.

1. 문자의 사용과 식의 계산 115□

		다음 식을 간단히 하여라. (1) (2)
		풀이 (1)	(2)
			답 (1) (2)

문제	다음 식을 간단히 하여라. (1) (2) (3) (4)

	일차식의 덧셈은 분배법칙을 이용하여 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 계산한다. 또 일차식의 뺄셈은 수의 뺄셈에서와 같이 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 더한다.

		다음 식을 간단히 하여라. (1) (2)
(1)		풀이 (1)		(2)
		답 (1) (2)

문제	다음 식을 간단히 하여라. (1) (2) (3) (4)

□ 116 Ⅲ. 문자와 식

			다음 식을 간단히 하여라. (1) (2)
			풀이 (1)	(2)
			답 (1) (2)

문제		다음 식을 간단히 하여라. (1) (2) (3) (4) (5) (6)
	확인 문제	1다음과 같은 규칙으로 빈칸을 채울 때, 에 알맞은 식을 구하여라. 2다음과 같은 규칙으로 빈칸을 채울 때, 에 알맞은 식을 구하여라.

함께 하는 수학 여행		어떤 규칙이 숨어 있을까? 왕발이는 박물관 복도에서 다음과 같은 그림을 발견하였다. 맨 마지막 빈칸에 그림이 지 워져 보이지 않을 때, 그림의 모양을 추측하여 보아라.

1. 문자의 사용과 식의 계산 117□