320 Ⅶ. 삼각함수

사인법칙과 코사인법칙

새로운 용어

사인법칙․코사인법칙

학습 목표 ․ 사인법칙과 코사인법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

중학교 때 배운 삼각비와 사인, 코사인으로 이루어진 여러 법칙들은 실생활에 매우 유용하게 쓰인다. 예를 들어, 직접 거리를 측정하기 어려운 바다 위의 두 지점 사이의 거리나 높은 빌딩과 산, 피라미드 등의 높이를 구할 때 또는 지도 작성, 토지 측량 등에 이용된다.

사인법칙

생 각 열 기

삼각형에서 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지면 삼각형이 하나로 결정된다. 이때, 나머지 두 변의 길이는 어떻게 구할 수 있을까? 삼각형에서 한 각의크기가 커지면 그 대변의 길이도 길어지므로 각의 크기와 그 대변의 길이 사이에는 어떤 관계가 있을 것이라고 짐작할 수 있다. 삼각함수를 이용하여 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이에 어떤 관계가 성립하는지 알아보자.

오른쪽 그림의

, , ,

에서 변의 길이와 그 대각의 크기 및 그 각의 사인 값을 알아보자. 또, 이들 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보자.

세 변의 길이

대각의 크기

대각의 사인 값

탐구 1 위 표를 보고 , , 에서 세 변의 길이와 그 대각의 사인 값 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보자.

탐구 2 탐구 1에서 알아본 관계가 에서도 성립한다고 가정하고, 위 표의 빈 칸을 채워 보자.

3. 삼각형에의 응용 321

	오른쪽 그림과 같은 에서 , , 의 크기를 각각 , , 로 나타내고, 그 대변의 길이를 각각 로 나타내기로 하자. 탐구 활동에서 알아본 바와 같이 삼각형의 세 변의 길이와 그 대각의 사인 값 사이에는 일정한 비가 성립한다. 일반적으로 의 외접원의 반지름의 길이를 라고 하면 의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. 이것을 사인법칙이라고 한다.


같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다. 탐구 활동의 탐구 2에서 에 사인법칙을 적용하면 임을 알 수 있다.	의 외접원의 중심을 라 하고 가 예각일 때, 사인법칙을 증명하여 보자. 오른쪽 그림과 같이 점 를 지나는 지름 을 그으면 이고 이므로 이다. 와 에 대하여도 같은 방법으로 생각하면 , 가 성립한다. 따라서 가 성립한다.

문제 ❶	에서 가 직각 또는 둔각일 때, 가 성립함을 설명하여라. ⑴ ⑵
322 Ⅶ. 삼각함수

	에서 일 때, 를 구하여라.
	풀이 에서 이므로 사인법칙에 의하여 답

문제 ❷	에서 일 때, 를 구하여라.

	에서 일 때, 를 구하여라.
	풀이 에서 사인법칙에 의하여 에서 또는 ∴ 또는 답 또는

문제 ❸	에서 일 때, 를 구하여라.

문제 ❹	눈높이가 인 사람이 국기게양대의 꼭대기를 바라본 각의 크기가 이었다 이 사람이 뒤로 가서 국기게양대의 꼭대기를 바라본 각의 크기가 이었을 때, 국기게양대의 높이는 약 몇 인가? (단, 이다.)
3. 삼각형에의 응용 323

		코사인법칙


생 각 열 기	삼각형의 두 변의 길이 와 를 알고 있을 때, 끼인 각의 크기 를 알면 나머지 한 변의 길이 가 정해진다. 이때, 이때 가 직각이면 이 성립하고, 의 크기가 작아지면 도 작아지고 의 크기가 커지면 도 커진다. 그러면 가 직각이 아닐 때, 을 와 로 나타낼 수 있을까?

와 는 직각삼각형이다.	오른쪽 그림과 같이 가 예각인 의 꼭짓점 에서 변 에 수선의 발을 내리면 …… ① …… ② 이다. 이때, ①②를 하면 이고, 이므로 이다. 따라서 이다. 같은 방법으로 를 얻을 수 있다. 일반적으로 의 세 변의 길이와 세 각의 코사인 값에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다. 이것을 코사인법칙이라고 한다.


문제 ❺	에서 가 둔각일 때, 코사인법칙이 성립함을 설명하여라.
324 Ⅶ. 삼각함수

	두 변의 길이가 각각 이고 그 끼인 각의 크기가 인 삼각형에서 나머지 한 변의 길이를 구하여라.
	풀이 오른쪽 그림과 같이 에서 , 라고 하면 코사인법칙에 의하여 그런데 이므로 답

문제 ❻	다음을 구하여라. (1) 두 변의 길이가 각각 이고 그 끼인 각의 크기가 인 삼각형에서 나머지 한 변의 길이 (2) 두 변의 길이가 각각 이고 그 끼인 각의 크기가 인 삼각형에서 나머지 한 변의 길이

	에서 세 변의 길이 를 알면 코사인법칙을 이용하면 , , 이므로 각의 크기 를 알 수 있다.

	세 변의 길이가 각각 인 삼각형에서 가장 큰 각의 크기를 구하여라.
	풀이 오른쪽 그림과 같이 에서 이라고 하면 코사인법칙에 의하여 ∴ 답

문제 ❼	세 변의 길이가 각각 인 삼각형에서 가장 큰 각의 크기를 구하여라.
3. 삼각형에의 응용 325

문제 ❾	오른쪽 그림과 같이 산 양쪽에 두 마을 와 가 있다. 지점에서 두 마을을 바라본 각의 크기를 재었더니 이고 지점에서 두 마을 와 까지의 거리가 각각 일 때, 두 마을 사이의 직선거리를 구하여라.

	1 의 외접원의 반지름의 길이를 라고 할 때, 다음 □ 안에 알맞은 것을 써넣어라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2 에서 다음을 구하여라. ⑴ 일 때, ⑵ 일 때,


	1 오른쪽 그림과 같이 삼각형의 한 변의 길이 와 이 변의 한 끝 각의 크기 가 고정되어 있을 때, 다른 한 끝 각의 크기 가 커지면 그 대변의 길이도 길어진다. 이것을 사인법칙이나 코사인법칙을 이용하여 설명할 수 있는지 토론하여 보자. 2 오른쪽 그림과 같이 삼각형의 두 변의 길이 가 고정되어 있을 때, 그 끼인 각의 크기 가 커지면 대변의 길이도 길어진다. 이것을 사인법칙이나 코사인법칙을 이용하여 설명할 수 있는지 토론하여 보자.
326 Ⅶ. 삼각함수

3	2	삼각형의 넓이
		학습 목표 ․ 삼각함수를 활용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. 고대 이집트에서는 해마다 일정한 시기에 나일 강이 범람하였다. 이로 인해 상류 지역에 있던 많은 유기물들이 하류 지역에 쌓이게 되어 농토가 더욱 비옥해졌다. 또한, 홍수로 인해 없어진 밭들의 경계를 다시 만드는 과정에서 땅의 넓이를 재는 측량 기술이 발전하였다.
			삼각형의 넓이


생 각 열 기		도형의 넓이를 구하는 기본적인 방법은 그 도형을 삼각형으로 쪼갠 후 각 삼각형의 넓이를 합하는 것이다. 삼각형이 하나로 결정되는 데에는 세 가지 경우가 있는데, 각 경우에 대하여 삼각형의 넓이를 구하는 공식을 알아 두면 편리하게 이용할 수 있다.


		오른쪽 그림과 같이 가 예각인 에서 두 변의 길이 와 그 끼인 각의 크기 를 알고 있을 때, 의 넓이를 구해 보자. 탐구 1 꼭짓점 에서 변 에 내린 수선의 발을 라고 할 때, 선분 의 길이를 와 에 대한 식으로 나타내어 보자. 탐구 2 의 넓이 를 에 대한 식으로 나타내어 보자.
		탐구 1에서 이므로 탐구 2에서 의 넓이 는 …… ① 이다. 한편, 오른쪽 그림과 같이 에서 가 둔각일 때 이므로 이다. 따라서 등식 ①이 성립한다.
3. 삼각형에의 응용 327

	같은 방법으로 , 를 얻을 수 있다.
이 등식의 각 변을 로 나누면 이고, 이것은 바로 사인법칙이다.

	예를 들어, 두 변의 길이가 각각 이고, 그 끼인 각의 크기가 인 삼각형의 넓이 는 다음과 같다.

문제 ❶	두 변의 길이가 각각 이고 그 끼인 각의 크기가 인 삼각형의 넓이를 구하여라.

	삼각형의 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지면 나머지 한 각의 크기를 알 수 있으므로 사인법칙을 이용하여 다른 한 변의 길이를 먼저 구한 후 삼각형의 넓이를 구한다.

	한 변의 길이가 이고 그 양 끝 각의 크기가 각각 인 삼각형의 넓이를 구하여라. (단, 이다.)
	풀이 오른쪽 그림과 같이 에서 , , 라고 하면 이므로 사인법칙에 의하여 따라서 구하는 삼각형의 넓이를 라고 하면 답

문제 ❷	한 변의 길이가 이고 그 양 끝 각의 크기가 각각 인 삼각형의 넓이를 구하여라. (단, 이다.)
328 Ⅶ. 삼각함수

	삼각형의 세 변의 길이가 주어지면 코사인법칙을 이용하여 한 각의 크기를 먼저 구한 후 삼각형의 넓이를 구한다.

	세 변의 길이가 각각 인 삼각형의 넓이를 구하여라.
이므로 이다.	풀이 오른쪽 그림과 같이 에서 , , 이라고 하면 코사인법칙에 의하여 ∴ 따라서 구하는 삼각형의 넓이를 라고 하면 답

문제 ❸	세 변의 길이가 각각 인 삼각형의 넓이를 구하여라.

	1 다음과 같은 삼각형의 넓이를 구하여라. (단, 이다.) ⑴ 두 변의 길이가 각각 이고 그 끼인 각의 크기가 인 삼각형 ⑵ 한 변의 길이가 이고 그 양 끝 각의 크기가 각각 인 삼각형 ⑶ 세 변의 길이가 각각 인 삼각형 2 다음 그림과 같은 도형의 넓이를 구하여라.

3. 삼각형에의 응용 329