Ⅵ

함수 

1. 함수

2. 이차함수의 활용

3. 유리함수와 무리함수

  톱니바퀴 두 개는 일정한 관계에 의하여 맞물려 움직인다. 두 가지 현상이나 대상 사이의 관계를 규명하는 일은 수학의 중요한 과제 중 하나이다.

  이 단원에서는 현대적인 의미의 함수에 대하여 그 일반적

인 성질을 공부하고, 이를 바탕으로 이차함수와 그 외 몇 가

지 간단한 함수에 대하여 알아본다.

●     서구 근대 문명 이전, 수학은 도형의 성질을 탐구하는 기하학과 방정식의 풀이가 주요 과제인 대수학을 중심으로 발전하였다. 도형이나 방정식의 해는 모두 고정되어 있는 정적인 대상들이었는데 문자식과 좌표평면을 사용하기 시작하면서 큰 변화가 일어나게 되었다.

●     그 변화의 핵심은 문자식에 포함된 문자를 고정된 수나 양으로 생각하지 않고 변화하는 양으로 여기게 되었다는 것이다. 이를 계기로 17세기 후반 함수에 대한 개념이 어렴풋이 싹트기 시작하였고, 이는 수학과 물리학, 나아가 서 근대 과학 기술의 발전에 초석이 되었다.

●     함수 개념을 정립한 사람은 스위스 수학자 오일러이다. 그는 1748년 ‘무한소 해석 입문’ 이라는 책에서 함수를 ‘변량과 수로 된 해석적인 식’으로 정의하였다. 함수의 등장으로 해석학이라는 새로운 수학 분야가 탄생하였고, 해석학은 대수학 및 기하학과 더불어 현대 수학을 받치는 기둥 역할을 하게 되었다.

●    그 후 19세기에 이르러 어떤 수에 다른 수가 대응되는 관계가 있으면 수식으로 표현되지 않더라도 이를 함수로 취급하기 시작하였다. 또한, 집합론의 등장과 함께 다루는 대상이 수가 아니더라도 두 집합 사이에 대응 관계가 있으면 이를 함수로 이해하는 더 넓은 개념으로 발전하였다.

●    함수 가운데 상수함수가 아닌 것으로서 가장 간단한 것은 일차식과 이차식으로 표현되는 일차함수 및 이차함수이다. 이 단원에서는 현대적인 의미의 함수에 대하여 그 일반적인 성질을 공부하고, 이를 바탕으로 이차함수와 그 외 몇 가지 간단한 함수에 대하여 알아본다.

●    함수는 어떤 자연현상이나 사회현상을 계량적으로 명확하게 이해하고자 하는 경우 중요한 도구로 사용된다. 먼저 추론이나 통계적인 방법을 통하여 주어진 현상을 함수로 나타낸다. 그러면 이 함수의 성질을 수학적으로 연구하고, 이를 바탕으로 원래 현상에 대하여 분석하고 예측을 할 수 있게 된다.

학습 목표

1. 함수의 뜻과 그래프를 이해하고, 합성함수와 역함수의 뜻과 성질을 이해할 수 있다.

2. 이차함수의 최대, 최소를 이해하고, 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이해한다.

3. 이차함수와 이차방정식, 이차부등식의 관계를 이해한다.

4. 유리함수와 무리함수의 뜻을 안다.

5. 유리함수와 무리함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.

238

준비 학습

➲ 익힘책 236쪽, 252쪽, 266쪽

변수 

함수

정의역

공역

함숫값

치역

함수의 그래프

나 처럼 여러 값을 가질 수 있는 문자

두 변수 와 에 대하여 의 값이 정해짐에 따라 의 값이 오직 하나 정해질 때, 를 의 함수라고 한다.

함수 에서 변수 가 속하는 집합

함수 에서 변수 가 속하는 집합

함수 에서 변수 의 값에 따라 정해지는 의 값

함숫값 전체로 이루어진 집합

함수 에 대하여 정의역의 원소 와 그 함숫값 의 순서쌍 전체를 좌표평면 위에 나타낸 것

                  오일러

                  (Euler, L. ; 1707～1783)

239

240  Ⅵ. 함수

1 

1

함수와 그래프

새로운 용어

대응․일대일함수․일대일 대응․항등함수․상수함수․

학습 목표  ․ 함수의 뜻을 알고, 그 그래프를 이해한다.

 ․ 일대일함수, 일대일 대응, 항등함수, 상수함수의 뜻을 말할 수 있다.

  이 세상에는 겉보기에는 서로 무관해 보이지만 의외로 서로에게 영향을 미치는 일들이 많다.

브라질에서 나비 한 마리가 날갯짓을 하면 텍사스에 폭풍이 발생할 수 있다는 이론도 있다. 이

와 같이 주어진 대상들 사이의 관련성을 살펴보는 것은 모든 발견의 첫걸음이다.

대응과 함수

우리나라는 미국과 로 비기고, 포르투갈을 으로 이겼으며 폴란드를 으로 이겼다.

  지난 2002년 우리나라와 일본이 공동 개최한 월드컵 축구 경기 조별 리그에서 우리나라 축구팀은 미국과 비기고, 포르투갈과 폴란드를 이겨서 조 1위로 결승 토너먼트에 진출하였다. 다음은 우리나라가 속해 있던 조의 경기 전적표이다.

  두 팀 가운데 어떤 팀이 몇 골을 넣었다 또는 어떤 팀이 이겼다는 표현으로 상대 팀과의 관계를 설명할 수 있다. 위 표를 보고, 각 팀이 어떤 관계에 의하여 어떻게 짝지어지는지 알아보자.

탐구 1 각 팀이 3골 이상 넣은 경기의 상대 팀을 찾아보자.

탐구 2 각 팀이 2골 이상 넣은 경기의 상대 팀을 찾아보자.

탐구 3 각 팀이 2골 이상 넣고 이긴 경기의 상대 팀을 찾아보자.

1. 함수  241

한국은 세 골 이상 넣은 적도 없고, 세 골 이상 내준 적도 없다.

한국은 폴란드와의 시합에서 두 골을 넣었고, 두 골 이상 내준 적이 없다.

  어떤 관계에 의하여 집합 의 원소에 집합 의 원소를 짝지어 주는 것을 집합 에서 집합 로 가는 대응이라고 한다. 탐구 활동에서 알아본 것들은

라고 할 때, 에서 로 가는 대응이다.

  탐구 1의 대응은 다음과 같이 그림으로 나타낼 수 있다.

  [그림 1]은 집합 의 원소에 대응되는 집합 의 원소를 화살표로 나타내었고, [그림 2]는 집합 와 를 축과 축인 것처럼 생각하여 서로 대응되는 의 원소 와 의 원소 의 순서쌍 를 점으로 나타내었다.

  탐구 2와 탐구 3의 대응을 화살표를 이용하여 [그림 1]과 같이 나타내면 각각 다음과 같다.

문제 ❶

탐구 활동의 탐구 2와 탐구 3의 대응을 [그림 2]와 같이 나타내어라.

  집합 에서 집합 로 가는 대응 가운데 의 각 원소에 의 원소가 하나씩만 대응되는 것을 함수라고 한다. 탐구 1의 대응은 의 원소 ‘한국’ 에 대응되는 의 원소가 없으므로 함수가 아니다. 또한, 탐구 2의 대응은 의 원소 ‘포르투갈’에 의 원소가 두 개 대응되므로 함수가 아니다. 그러나 탐구 3의 대응은 각 원소에 의 원소가 하나씩만 대응되므로 함수이다.

242  Ⅵ. 함수

문제 ❷

다음 그림은 집합 에서 집합 로 가는 대응을 나타낸 것이다. 이들 대응이 함수인지 아닌지 알아보고, 함수가 아닌 경우에는 그 이유를 말하여라.

⑴     ⑵     ⑶         

미국, 포르투갈, 폴란드는 두 골 이상 내주고 진 적이 있다.

은 을 제외한 실수 전체의 집합이다.

  집합 에서 집합 로 가는 함수가 주어지면 의 모든 원소 에 대하여 대응되는 의 원소 가 결정되는데, 를 라고 하면 이 함수를 기호로

와 같이 나타낸다. 이때, 집합 를 함수 의 정의역이라 하고, 집합 를 함수 의 공역이라고 한다.

  또한, 함숫값 전체의 집합

를 함수 의 치역이라고 한다. 예를 들어, 탐구 3에서 구한 함수의 치역은

{미국, 포르투갈, 폴란드}

이다.

  함수를 이용하여 어떤 문제를 해결할 때, 대부분의 함수는 에서

과 같이 가 식으로 주어진다. 앞으로 정의역에 대하여 특별한 언급이 없으면 함숫값이 정의되는 실수의 집합을 정의역으로 간주하고, 공역은 실수 전체의 집합 로 생각한다. 따라서 위 함수들의 정의역은 각각

이고, 치역은 각각

이다.

문제 ❸

다음 함수들의 정의역과 치역을 구하여라.

(1)                       (2)

(3)                  (4)

1. 함수  243

  함수 에서 정의역 의 각 원소 와 그에 대응하는 함숫값 의 순서쌍 전체의 집합을 함수 의 그래프라고 한다. 즉, 함수 의 그래프는

이다. 특히, 함수 의 정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합일 때, 모든 에 대하여 순서쌍 를 좌표평면 위에 점으로 나타내면 직선이나 곡선 등 여러 가지 도형을 얻는다.

문제 ❹

함수의 그래프는 정의역의 임의의 원소 에 대하여 축에 평행한 직선 와 오직 한 점에서 만난다.

다음 중 함수의 그래프를 모두 찾아라.

⑴       ⑵          ⑶

⑷       ⑸          ⑹

두 함수가 서로 같다는 말을 할 때에는 두 함수의 정의역과 공역이 각각 같은 경우에 한한다.

  정의역과 공역이 같은 두 함수

에서 정의역 의 모든 원소 에 대하여 함숫값이 같을 때, 즉 일 때 두 함수 와 는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로

와 같이 나타낸다. 예를 들어, 정의역이 이고 공역이 실수 전체의 집합 인 두 함수

은 정의역의 원소 에 대하여

이므로 이다. 그러나 정의역이 실수 전체의 집합이면 위 두 함수 는 서로 같지 않다.

244  Ⅵ. 함수

여러 가지 함수

생 각  열 기

  두 집합 사이에 대응 관계가 있을 때 서로 짝이 맞는 경우가 있고 그렇지 않은 경우가 있다. 어떤 반에 남학생 17명과 여학생 17명이 있으면 남학생과 여학생은 각각 한 명씩 짝이 될 수 있다. 그러나 이 반에 사물함이 33개이면 한 명의 학생은 사물함을 배정받을 수 없다.

식으로 주어진 함수가 일대일함수라는 것을 보일 때에는 오른쪽 명제의 대우

가 참임을 증명하는 것이 편리하다.

두 집합 에 대하여 함수 와 같이 일대일 대응이 되려면 두 집합 와 의 원소의 개수가 같아야 한다.

  함수 에서 정의역 의 임의의 두 원소 에 대하여

이면

일 때, 를 일대일함수라고 한다. 예를 들어, 다음 그림에서 함수 는 일대일함수이고, 함수 는 이지만 이므로 일대일함수가 아니다.

  일대일함수 에서 치역과 공역이 같을 때, 일대일 대응이라고 한다. 예를 들어, 다음 그림에서 함수 는 일대일함수이지만 일대일 대응은 아니고, 함수 는 일대일 대응이다.

문제 ❺

다음 중 일대일 대응의 그래프를 모두 찾아라.

⑴        ⑵       ⑶

1. 함수  245

  함수 의 정의역 와 공역 가 다음과 같을 때, 이 함수가 일대일함수이면 ◯표, 일대일함수가 아니면 ✕표를 하여 보자. 또, 이 함수가 일대일 대응이면 ◯표, 일대일 대응이 아니면 ✕표를 하여 보자.

오른쪽 그림과 같이 그래프를 그려 보면 일대일함수인지 아닌지 바로 알 수 있다.

, 즉 이면 이다. 이때, 이므로 , 즉 이다.

  탐구 1에서 함수 는

이지만

이므로 일대일함수가 아니다. 따라서 이 함수는 일대일 대응도 아니다.

  탐구 2에서 함수 는 정의역 의 임의의 원소 에 대하여

이면  

이므로 일대일함수이다. 그러나 치역인 양수 전체의 집합은 공역과 같지 않으므로 일대일 대응은 아니다.

  탐구 3에서 함수 는 일대일함수이고 치역과 공역이 같으므로 일대일대응이다.

  이와 같이 주어진 함수가 일대일함수인지 또는 일대일 대응인지 여부는 정의역과 공역을 어떻게 정하느냐에 따라 달라진다.

 문제 ❻

함수 의 정의역 와 공역 가 다음과 같을 때, 일대일함수인지 일대

일 대응인지 알아보아라.

(1) , 

(2) , 

집합 에서 자신으로 가는 함수 가운데 일대일함수이지만 일대일 대응이 아닌 예를 만들 수 있는가? 만들 수 없다면 그 이유를 말하여라.

246  Ⅵ. 함수

  오른쪽 그림과 같이 정의역과 공역이 같은 함수 에서 정의역 의 임의의 원소 에 자기 자신이 대응될 때, 즉

일 때, 이 함수 를 에서 정의된 항등함수라고 한다.     

  또, 오른쪽 그림과 같이 함수 에서 정의역 의 모든 원소 에 공역 의 단 하나의 원소 (는 상수)가 대응될 때, 즉

일 때, 이 함수 를 상수함수라고 한다. 예를 들어, 는 상수함수이다.

1 집합 에서 자신으로 가는 대응 가운데 다음과 같은 예를 그림으로 나타내어라.

(1) 함수가 아닌 대응                    (2) 일대일 함수가 아닌 함수

2 실수 전체의 집합 에서 로 가는 함수 가운데 다음과 같은 예를 그래프로 나타내어라.

   (1) 일대일함수가 아닌 함수              (2) 일대일 대응이 아닌 일대일함수

1. 함수  247

1 

2

합성함수와 역함수

새로운 용어와 기호

합성함수․역함수․․․․․

학습 목표  ․ 함수의 합성을 이해하고, 합성함수를 구할 수 있다.

 ․ 역함수의 뜻을 알고, 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.

  우리가 살고 있는 세상은 국가와 국민, 부모와 자식, 스승과 제자, 악어와 악어새 등 수많은 관계로 이루어져 있다. 20세기 초 프랑스 수학자 푸앵카레는 대상들 사이의 관계에 주목하여 어떤 현상을 연구하는 것이 수학의 중요한 특징 가운데 하나라고 주장하였다.

합성함수의 뜻

  학교 가을 축제에서 은규네 반 남학생 5명과 여학생 5명은 남녀 한 명씩 두 명이 한 조가 되어 방문객을 안내하게 되었다. 남학생들의 소지품을 한 가지씩 꺼내어 섞은 후, 그 가운데 하나를 선택한 여학생이 그 물건을 내놓은 남학생과 한 조가 되기로 하였다. 남학생들의 모임을 , 남학생들이 내놓은 물건들의 모임을 , 여학생들의 모임을 라고 할 때, 와 , 와 의 대응 관계가 다음과 같았다.

탐구 1 에서 로 가는 대응, 에서 로 가는 대응은 각각 함수인가?

탐구 2 에서 로 가는 대응을 그림으로 나타내어 보자. 이 대응은 함수인가?       

는 남학생 가 내놓은 물건 를 택한 여학생이므로 남학생 와 한 조가 된다.

  탐구 활동에서 에서 로 가는 대응, 에서 로 가는 대응은 각각 함수이다. 두 대응을 각각 , 라고 하면 , 이므로

가 된다. 따라서 의 한 원소인 남학생 에 대하여 여학생 를 대응시키면 에서 로 가는 새로운 함수가 된다.

248  Ⅵ. 함수

일반적으로 함수 의 치역이 함수 의 정의역의 부분집합이면 합성함수 룰 정의할 수 있다.

  세 집합 에 대하여 두 함수

, 

에 대하여 집합 의 각 원소 에 집합 의 원소 를 대응시키고, 다시 집합 의 원소 에 집합 의 원소 를 대응시킬 수 있다. 따라서 집합 의 각 원소 에 집합 의 원소 를 대응시켜서 에서로 가는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 함수를 와 의 합성함수라 하고, 이것을 기호로

와 같이 나타낸다. 따라서 집합 의 각 원소 에 대하여

이다.

  예를 들어, 세 집합 에 대하여 두 함수 와 가 다음 그림과 같이 정의되어 있다고 하자.

그러면

이므로 는 오른쪽 그림과 같다.

1. 함수  249

두 함수 에 대하여 합성함수 와 를 각각 구하여라.

풀이  두 함수 와 의 정의역과 공역은 모두 실수 전체의 집합이므로 합성함수 와 가 정의될 수 있다.

답 ,

문제 ❶

두 함수 에 대하여 다음을 구하여라.

(1)                           (2)

  위에서 알 수 있듯이 두 함수 와 에 대하여 와 는 일반적으로 서로 같지 않다.

세 함수 에 대하여 합성함수

와 를 각각 구하여라.

세 함수 의 정의역과 공역은 모두 실수 전체의 집합이므로 합성함수 와 가 정의될 수 있다.

풀이  이므로

이므로

               답

문제 ❷

세 함수 에 대하여 합성함수

와 를 각각 구하여라.

이므로

이므로

  일반적으로 세 함수 , , 에 대하여 합성함수 는 모두 에서 로 가는 함수이고

이다.

250  Ⅵ. 함수

역함수의 뜻과 성질

생 각  열 기

  영화표에는 그 영화가 상영되는 상영관의 좌석이 적혀 있다. 이것은 각 관람객에 대하여 좌석을 짝짓는 것이므로 대응으로 생각할 수 있다. 거꾸로 각 좌석에 대하여 그 좌석을 지정받은 관람객을 짝짓는 것도 대응으로 생각할 수 있다. 이 두 가지 대응은 서로 역관계이다.

  영화관에서 각 관람객에 대하여 좌석을 대응시키면 이는 한 영화를 같이 관람하는 관람객 전체에서 좌석 전체로 가는 함수이다.

탐구 1 이 함수는 일대일함수인지 알아보자. 또, 치역은 무엇인지 알아보자.

탐구 2 각 좌석에 대하여 그 좌석을 지정받은 관람객을 대응시키면 이 대응은 함수가 되는지 알아보자.

  탐구 1에서 영화표를 구입한 관람객에게 서로 다른 좌석이 지정되므로 관람객에 대하여 좌석을 대응시키면 이는 관람객 전체에서 좌석 전체로 가는 일대일함수가 된다. 이때, 치역은 관람객이 지정된 좌석들이다. 그런데 영화표가 다 팔리지 않아서 빈 좌석이 있으면 이 함수는 좌석 전체로 가는 일대일함수이지만 일대일 대응은 아니다. 따라서 탐구 2에서 빈 좌석에 대하여 관람객을 대응시킬 수 없으므로 이 대응은 함수가 되지 않는다. 만일 영화표가 모두 팔려서 빈 좌석이 없으면 탐구 1에서 치역은 좌석 전체가 되고, 관람객 전체에서 좌석 전체로 가는 일대일 대응이 된다. 따라서 탐구 2의 대응도 함수가 된다.

1. 함수  251

  함수 가 일대일 대응이면 의  각 원소 에 대하여 인 의 원소 가 꼭 하나 있다. 그러므로 의 원소 에 인 의 원소 를 대응시키면 에서 로 가는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 함수를 의 역함수라 하고, 기호로

와 같이 나타낸다. 이때, 함수 의 정의역은 그 역함수 의 공역이 되고, 의 공역은 의 정의역이 된다.

  함수 의 역함수가 존재하면

가 성립한다. 따라서 집합 의 원소 에 대하여

이므로 는 에서 정의된 항등함수이다. 마찬가지로 집합 의 원소 에 대하여

이므로 는 에서 정의된 항등함수이다.

  또, 역함수 의 역함수 는 이다.

  이상을 정리하면 다음과 같다.

  함수 가 일대일함수가 아니면 치역의 어떤 원소 에 대해서는 인 정의역의 원소 가 두 개 이상 있으므로 역함수를 정의할 수 없다. 또한, 치역이 공역의 진부분집합이면 치역에 들어가지 않는 공역의 원소 에 대해서는 인 정의역의 원소 가 없으므로 역시 역함수를 정의할 수 없다. 따라서 함수 가 일대일 대응이 아니면 역함수가 존재하지 않는다.

252  Ⅵ. 함수

  일반적으로 함수를 나타낼 때, 정의역의 원소를 , 치역의 원소를 로 나타내므로 함수 의 역함수 에서 와 를 바꾸어

로 나타낸다.

함수 의 역함수를 구하여라.

먼저 와 를 바꾸고 에 대하여 풀어도 된다.

풀이  함수 은 실수 전체의 집합 에서 로 가는 일대일 대응이므로 역함수가 존재한다.

을 에 대하여 풀면

여기서 와 를 바꾸면 구하는 역함수는 

                                                        답

문제 ❸

다음 함수의 역함수를 구하여라.

(1)                      (2)

함수 과 에 대하여 임을 확인하여라.

두 일대일 대응

에 대하여 일반적으로

가 성립한다.

증명  합성함수 를 구하면

합성함수 는 일대일 대응이므로 역함수가 존재하고, 그 역함수는

한편, 함수 와 는 일대일 대응이므로 역함수가 존재하고, 그 역함수는 각각

이다.

∴

따라서 이다.

문제 ❹

함수 과 에 대하여 를 구하여라.

1. 함수  253

  함수 의 그래프는 에 대한 방정식

                       ①

이 나타내는 도형이다. 역함수 에서 와 의 관계식은 로 주어지므로 그 그래프는 방정식 이 나타내는 도형이다. 이것은 ①에서 와 를 바꾼 것이므로 함수 의 그래프와 그 역함수 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.

  예를 들어, 정의역이 이고 공역이 인 함수 은 일대일 대응이므로 역함수가 존재하고, 그 역함수의 그래프는 함수 의 그래프와 직선 에 대하여 대칭이다. 따라서 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

문제 ❺

정의역이 이고 공역이 인 함수 의 역함수의 그래프를 그려라.

1 다음 함수 와 에 대하여 합성함수 를 구하여라.

(1) , 

(2) , 

(3) , 

2 다음 함수의 역함수를 구하여라.

(1)              (2)

(3)               (4)

다항식으로 정의된 두 함수 와 의 합성함수 가 다음과 같은 식이 되도록 두 함수를 주고 를 구하는 문제를 만들어 보아라.

(1) 일차식                 (2) 이차식                 (3) 삼차식

254  Ⅵ. 함수

1. 함수  255