024  Ⅰ. 집합과 명제

2 

1

명제와 조건

새로운 용어와 기호

조건․진리집합․부정․어떤․모든․

학습 목표  ․ 명제와 조건의 의미를 이해하고, 그 부정을 말할 수 있디.

 ․ 조건의 진리집합을 이용하여 명제 의 참, 거짓을 판별할 수 있다.

 ․ ‘어떤’과 ‘모든’이 들어 있는 명제를 이해하고, 그 부정을 말할 수 있다.

  ‘의 배수는 짝수이다.’라는 말은 어떤 수가 4의 배수이면 그 수는 짝수라는 뜻이다. 또, 의 배수 전체의 집합은 짝수 전체의 집합에 포함된다는 뜻이기도 하다. 이처럼 간단해 보이는 문장도 그 의미를 알려면 논리적으로 잘 분석해 보아야 한다.

조건과 부정

  다음 세 문장에 대하여 알아보자.

탐구 1 위 문장의 참, 거짓을 판별하여 보자.

탐구 2 참, 거짓을 판별할 수 없는 것이 있다면 그 이유를 말하여 보자.

  문장들 가운데 그 내용이 참인지 거짓인지 판별할 수 있는 것을 명제라고 한다. 탐구 활동에서 ㈎와 ㈏는 참, 거짓을 판별할 수 있으므로 명제이다. 그런데 ㈐는 의 값에 따라 참일 수도 있고 거짓일 수도 있으므로 그 자체로는 명제가 아니지만, 에 특정한 값을 넣으면 참과 거짓을 판별할 수 있는 명제가 된다. 즉, 가 이면 참이고, 그 외의 값이면 거짓이다.

  이와 같이 전체집합 의 원소 에 따라 참과 거짓을 판별할 수 있는 문장을 전체집합 에서 정의된 조건이라고 하며 로 나타낸다. 이때, 조건 를 참이 되게 하는 들의 집합을 조건 의 진리집합이라고 한다. 따라서 ㈐의 진리집합은

이다.

문제 ❶

자연수 전체의 집합에서 정의된 다음 조건의 진리집합을 구하여라.

(1)                    (2) 는 의 배수이다.

(3)                    (4) 는 의 약수이다.

2. 명제  025

  명제 에 대하여 ‘가 아니다.’를 그 명제 의 부정이라 하고, 이것을 기호로

와 같이 나타낸다. 예를 들어, 명제 가 ‘는 자연수이다.’이면 는 ‘는 자연수가 아니다.’이다. 또, 의 부정은 다시 가 된다. 명제 가 참이면 그 부정 는 거짓이고, 가 거짓이면 는 참이다.

  명제와 마찬가지로 조건 에 대하여 ‘가 아니다.’를 조건 의 부정이라 하고, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다. 이때, 전체집합을 , 조건 의 진리집합을 라고 하면 전체집합 의 원소 중에서 가 참인 원소는 이므로 의 진리집합은 이다.

문제 ❷

다음 명제 또는 조건의 부정을 말하고, 조건은 그 부정의 진리집합을 구하여라.

(1)                         (2) 는 유리수가 아니다.

(3)                            (4)

조건 를 간단히 라고 쓰기도 한다.

  두 조건 와 에 대하여 새로운 조건

  또는 ,   그리고

를 생각하여 보자. 조건 의 진리집합을 와 조건 의 진리집합을 라고 하면 조건 ‘ 또는 ’의 진리집합은 이고, 조건 ‘ 그리고 ’의 진리집합은 이다. 따라서 조건 ‘ 또는 ’의 부정을 생각하면 그 진리집합은

이고, 이것은 ‘ 그리고 ’의 진리집합이다. 그러므로 ‘ 또는 ’의 부정은

 그리고

임을 알 수 있다. 예를 들어, 조건 ‘ 또는 ’의 부정은 ‘ 그리고 ’, 즉 ‘’이다.

문제 ❸

조건 ‘ 그리고 ’의 부정이 ‘ 또는 ’임을 설명하여라.

문제 ❹

다음 조건의 부정을 말하여라.

(1)  또는               (2) 또는

(3)                          (4) 이고

026  Ⅰ. 집합과 명제

명제 의 참과 거짓

생 각  열 기

 명제 ‘자연수 가 의 배수이면 는 의 배수이다.’는 참인 명제이다. 여기서 의 배수 전체의 집합과 의 배수 전체의 집합 사이에는 어떤 관계가 있을까? 또, 명제 ‘자연수 가 의 배수이면 는 홀수이다.’는 거짓인 명제이다. 여기서 의 배수 전체의 집합과 홀수 전체의 집합 사이에는 어떤 관계가 있을까?

  자연수 전체의 집합에서 정의된 다음 세 조건 의 진리집합을 각각 라고 하자.

: 는 의 약수이다.

: 는 의 약수이다.

: 는 의 약수이다.

탐구 1 진리집합 를 각각 원소나열법으로 나타내어 보자.

탐구 2 명제 의 참, 거짓을 말하고, 의 포함 관계를 알아보자.

탐구 3 명제 의 참, 거짓을 말하고, 의 포함 관계를 알아보자.

  두 조건 의 진리집합 의 포함 관계와 명제 의 참과 거짓 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보자.

  탐구 1에서 세 집합 의 포함 관계를 벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 탐구 2에서 의 약수는 모두 의 약수이므로 명제 는 참이고, 두 조건 의 진리집합 사이에는 가 성립한다. 그런데 탐구 3에서 의 약수 중에는 와 같이 의 약수가 아닌 것이 있으므로 명제 는 거짓이고, 두 조건 의 진리집합 사이에는 가 성립하지 않는다. 

  일반적으로 두 조건 의 진리집합을 각각 라고 할 때, 명제 가 참이라는 것은 집합 의 모든 원소가 조건 를 만족한다는 말이므로

가 성립한다는 뜻이다.   

2. 명제  027

반례를 드는 경우에는 한 가지 예만 들어도 충분하다.

  또, 명제 가 거짓이라는 것은 집합 의 원소 가운데 조건 를 만족하지만 조건 를 만족하지 않는 것이 있다는 말이므로 가 성립하지 않는다는 뜻이다.

  따라서 명제 가 거짓임을 보이려면 집합 에 속하지만 집합 에는 속하지 않는 원소를 예로 들면 된다. 이와 같은 예를 반례라고 한다. 탐구 활동의 명제 에서 는 의 약수이지만 의 약수가 아니므로 반례이다. 또, 도 의 약수이지만 의 약수가 아니므로 반례이다.

  이상을 정리하면 다음과 같다.

다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라.

(1) 이면 이다.

(2) 이면 이다.

는 반례이다.

풀이  (1) 두 조건 ‘: ’과 ': '의 진리집합을 각각 라고 하면

이때, 이므로 주어진 명제는 참이다.

(2) 두 조건 ': '와 ': '의 진리집합을 각각 라고 하면

이때, 이므로 주어진 명제는 거짓이다.

                       답 (1) 참 (2) 거짓

문제 ❺

다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라.

(1) 이면 이다.

(2) 이면 이다.

(3) 가 소수이면 는 홀수이다.

028  Ⅰ. 집합과 명제

‘어떤’과 ‘모든’이 들어 있는 명제

생 각  열 기

  현호는 작년 가을 경기도 광릉에 있는 국립수목원을 견학하였다. 사과나무, 배나무를 비롯하여 처음 보는 여러 가지 나무들에도 빨강, 노랑, 보라 등 색색의 열매가 익어가고 있었다. 현호는 이를 보고, ‘모든 나무는 열매를 맺는다.’고 생각하였다. 이 생각을 부정하려면 어떻게 해야 할까?

  다음 두 문장에 대하여 알아보자.

탐구 1 위 문장의 참, 거짓을 판별할 수 있는지 알아보자.

탐구 2 위 문장을 부정하려면 어떻게 해야 될까?

  탐구 활동에서 ㈎는 자연수 가운데 의 배수가 적어도 하나 있으므로 참인 명제이고, ㈏는 자연수 가운데 의 배수가 아닌 것도 있으므로 거짓인 명제이다. 이와 같이 전체집합 에서 정의된 조건 에 대하여

어떤 에 대하여

모든 에 대하여

는 를 포함하고 있지만 참, 거짓을 명확하게 판별할 수 있으므로 명제이다.

  전체집합 에서 정의된 조건 에 대하여 명제

어떤 에 대하여

가 참이라는 것은 전체집합 의 원소 가운데 조건 를 만족하는 것이 적어도 하나 있다는 뜻이다. 즉, 조건 의 진리집합 가 공집합이 아니라는 말이다.

  또, 명제

모든 에 대하여

가 참이라는 것은 전체집합 의 모든 원소 가 조건 를 만족한다는 뜻이다. 즉, 조건 의 진리집합 가 전체집합 와 같다는 말이다.

2. 명제  029

다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라.

(1) 어떤 실수 에 대하여 이다.

(2) 모든 실수 에 대하여 이다.

풀이  (1) 조건 의 진리집합은 이고, 이것은 공집합이 아니므로 주어진 명제는 참이다.

(2) 조건 의 진리집합은 이고, 이것은 실수 전체의 집합이 아니므로 주어진 명제는 거짓이다.

     답 (1) 참  (2) 거짓

문제 ❻

다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라.

(1) 어떤 에 대하여 이다.

(2) 모든 에 대하여 이다.

           ∥

           ↕ 부정

           ∥

            ∥

  명제 ‘어떤 에 대하여 ’의 부정이 무엇인지 알아보자. 조건 의 진리집합을 라고 할 때, 명제 ‘어떤 에 대하여 ’는

임을 말하는 것이다. 이것을 부정하면

, 즉

이고, 이것은 ‘모든 에 대하여 ’를 말하는 것이다. 따라서 명제 ‘어떤 에 대하여 ’의 부정은

모든 에 대하여

이다. 마찬가지로 명제 ‘모든 에 대하여 ’의 부정은

어떤 에 대하여

이다.

문제 ❼

다음 명제의 부정을 말하여라.

(1) 모든 실수 에 대하여 이다.

(2) 어떤 실수 에 대하여 이다.

030  Ⅰ. 집합과 명제

다음은 ‘TV 1234 수학 퀴즈 쇼’의 한 장면이다. 박논리 씨가 문제를 풀고 획득한 점수는 몇 점인지 구하여라.

진행자 : 이번 문제는 명제의 부정에 대한 것입니다. 화면에 제시된 명제의 부정이 옳으면 O, 옳지 않으면 로 답하면 됩니다. 정답을 맞히면 각 문제당 10점을 획득하게 됩니다. 문제 나갑니다.

진행자 :  (2분이 지난 후) 지금부터 5초 드립니다. 5, 4, …

박논리 : 각 문제의 정답은 O, O, , , , O입니다.

진행자 : 박논리 씨가 이번 문제에서 획득한 점수는 총 점입니다.

‘은 짝수이다.’와 ‘의 배수는 짝수이다.’의 문장 구조는 ‘～은 ～이다.’로 같다. 그런데 이 문장들을 좀 더 명확하게 표현하면 다음과 같다.

         은 짝수이다. ➡ 은 짝수 전체의 집합의 원소이다.

                       ➡

         의 배수는 짝수이다. ➡ 가 의 배수이면 는 짝수이다.

                              ➡

이와 같이 우리가 자주 사용하는 ‘～은 ～이다.’ 꼴의 문장을 논리적으로 분석하면 그 의미에 따라서 각각 와 같은 수학 기호로 표현할 수 있다. 위와 유사한 예를한 가지씩 찾아서 친구들과 이야기하여 보자.

  2. 명제  031

도서관 자료 검색

AND｜집합의 ‘교집합’과 같은 의미이고, 키워드가 모두 포함된 문서를 검색할 때 사용한다.

OR ｜집합의 ‘합집합’과 같은 의미이고, 키워드가 하나라도 포함된 문서를 검색할 때 사용한다.

NOT｜집합의 ‘차집합’과 같은 의미이고, 뒤의 키워드가 포함되지 않은 문서를 검색할 때 사용한다.

  도서관에 있는 수많은 자료들 가운데 내가 원하는 자료를 찾으려면 어떻게 하여야 할까? 도서관 홈페이지의 검색 창에서 어떤 검색어를 입력하면 매우 많은 검색 결과가 나오므로 원하는 자료를 찾기가 쉽지 않다. 하지만 검색어들 사이에 적절한 관계를 지정하여 주면 원하는 자료를 좀 더 정확하게 찾을 수 있다. 이때, 우리가 공부한 ‘그리고(AND)’, ‘또는(OR)’, ‘부정(NOT)’ 등을 사용할 수 있다.

  국립중앙도서과 홈페이지(http://www.nl.go.kr/)에서 ‘자료 찾기 → 소장 자료 검색 → 상세 찾기’의 순서로 검색 창에 접속하여 보자. 먼저, 검색 항목에서 전체, 표제/논문명, 키워드, 저자명, 발행자/대학명 가운데 하나를 선택하고 검색어를 입력한다. 예를 들어, 검색 항목에서 전체를 선택하고 ‘논리’를 입력하면 ‘논리’라는 단어가 들어 있는 자료를 모두 찾아 준다. 이 자료들 중에서 수학과 관련 있는 자료만 찾고 싶으면 둘째 줄에서 검색 항목을 전체로 선택하고, ‘수학’을 입력한다. 이때, 첫째 줄과 둘째 줄 사이에 ‘AND'를 선택하여 검색하면 ‘논리’와 ‘수학’이 동시에 들어 있는 자료를 찾아 준다. 즉, ‘논리’가 들어 있는 자료들의 모임을 , ‘수학’이 들어 있는 자료들의 모임을 라고 하면 에 속하는 자료들을 찾아 주는 것이다. 만일 ‘AND’ 대신에 ‘OR'나 ‘NOT'을 이용하면 , , 에 속하는 자료들도 찾을 수 있다.

과제     관심이 있는 다른 두 단어에 대하여 AND, OR, NOT을 이용하여 검색을 해 보고, 그 결과를 친구들과 비교하여 보자.

032  Ⅰ. 집합과 명제

2 

2

명제 사이의 관계

새로운 용어와 기호

대우․이․필요조건․충분조건․필요충분조건․․

학습 목표  ․ 명제의 역, 이, 대우를 이해하고, 이를 말할 수 있다.

 ․ 필요조건과 충분조건을 이해하고, 이를 구할 수 있다.

  명제 ‘파충류는 척추동물이다.’는 ‘어떤 동물이 파충류이면 그 동물은 척추동물이다.’라는 뜻이므로 옳다. 한편, 명제 ‘척추동물은 파충루이다.’는 척추동물이면서 파충류가 아닌 동물도 있기 때문에 옳지 않다. 그런데 ‘척추동물이 아닌 동물은 파충류가 아니다.’라는 말은 옳고, 이것은 ‘파충류는 척추동물이다.’와 논리적으로 같은 주장이다

명제의 역, 이, 대우

  조건 , 의 진리집합을 각각 , 라고 할 때, 다음을 알아보자.

탐구 1 조건 와 조건 의 진리집합을 구하여 보자.

탐구 2 다음 각 명제가 참일 때, 진리집합 사이의 포함 관계를 말하여 보자.

역의 참, 거짓은 원래 명제의 참, 거짓과 무관하다.

탐구 2에서 주어진 명제들과 같이 명제 에서 가정과 결론을 바꾸거나 그 부정을 이용하여 새로운 명제

를 만들 수 있다. 명제 에서 와 를 서로 바꾸어서 만든 새로운 명제 를 명제 의 역이라고 한다. 예를 들어, 명제

                     ①

의 역은

                    ②

이다. 이때, 명제 ①은 참이지만 그 역 ②는 거짓이다.

  한편, 명제 에 대하여

를 명제 의 대우라 하고, 대우 의 역 

를 명제 의 이라고 한다.

2. 명제  033

  예를 들어, 명제 ‘가 의 배수이면 는 의 배수이다.'의 역, 이, 대우는 다음과 같다.

             역 : 가 의 배수는 가 의 배수이다.

             이 : 가 의 배수가 아니면 가 의 배수가 아니다.

           대우 : 가 의 배수가 아니면 가 의 배수가 아니다.

  명제 의 역, 이, 대우 사이의 관계를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

문제 ❶

다음 명제의 역, 이, 대우를 말하고, 그 참, 거짓을 판별하여라.

(1) 마름모는 평행사변형이다.

(2) 이고 이면 이다.

역의 대우는 이이므로 역이 참이면 이도 참이고, 역이 거짓이면 이도 거짓이다.

  조건 의 진리집합을 각각 라고 하면 조건 , 의 진리집합은 각각 , 이다. 이때, 명제 가 참이라는 것은 와 같은 말이고, 명제 가 참이라는 것은 와 같은 말이다.

  그런데 오른쪽 그림과 같이

, 

는 같은 관계를 나타내므로 두 명제

, 

의 참, 거짓이 일치한다. 즉, 명제와 그 대우는 참, 거짓이 일치한다.

명제 를 직접 증명하기 어려운 경우 이용하는 증명 방법이다.

  명제와 그 대우는 참, 거짓이 일치하므로 명제 가 참임을 증명할 때, 그 대우 가 참임을 증명해도 된다.

034  Ⅰ. 집합과 명제

다음 명제가 참임을 증명하여라.

자연수 에 대하여 이 짝수이면 도 짝수이다.

증명  주어진 명제를 증명하려면 이 명제의 대우

‘자연수 에 대하여 이 홀수이면 도 홀수이다.’

가 참임을 증명하면 된다.

이 홀수이면 (는 또는 자연수)로 나타낼 수 있으므로

여기서 는 또는 자연수이므로 은 홀수이다. 따라서 ①은 참이다. 그러므로 자연수 에 대하여 이 짝수이면 도 짝수이다.

문제 ❷

다음 명제가 참임을 증명하여라.

자연수 에 대하여 이 의 배수이면 도 의 배수이다.

선생님, 궁금해요

명제 의 부정은 무엇인가요?

진  수 : 선생님, ‘모든’과 ‘어떤’이 들어 있는 명제의 부정은 알겠는데요, ‘이면 이다.’의 부정은 무엇인가요?

선생님 : 좋은 질문이에요. 먼저, 진수가 ‘이면 이다.’ 꼴의 문장을 한번 만들어 보세요.

진  수 : 음, ‘지각하면 방과 후에 남아서 교실 청소를 한다.’요

선생님 : 하하. 좋은 예군요. 그럼, 그것의 부정은 무엇일까요?

진  수 : ‘지각하지 않으면 방과 후에 남아서 교실 청소를 안 해도 된다.’가 아닌가요?

선생님 : 처음에 진수가 말한 것을  꼴로 나타낸다면 에 해당하는 것은 무엇이고, 에 해당하는 것은 무엇이죠?

진  수 : 는 ‘지각한다.’, 는 ‘방과 후에 남아서 교실 청소를 한다.’요.

선생님 : 그럼, 진수가 말한 것을 기호로 나타내면요?

진  수 : 아, 제가 말한 것은 이니까 ‘부정’이 아니라 ‘이’이네요?

선생님：맞아요. 이렇게 한번 생각해 보죠. 진수가 선생님한테 그런 약속을 했다고 하면 진수가 약속을 어기는 경우는 언제인가요?

진  수 : 지각했는데도 남아서 교실 청소를 안 한 경우요. 아! 알겠어요. 그러니까 ‘이면 이다.’의 부정은 ‘임에도 불구하고 가 아니다.’이겠네요?

선생님 : 네. 맞아요. 다시 말하면 ‘’의 부정은 ‘ 그리고 ’가 되지요.

2. 명제 035

필요조건과 충분조건

생 각  열 기

  우리나라 도로교통법에 의하면 만 세 미만인 사람은 운전면허를 취득할 수 없다. 그렇다면 만 세 이상이라는 것은 운전면허를 취득하기 위해 충분한 조건일까? 아니면 필요한 조건일까? 또, 대한민국 만 세 이상인 사람과 운전면허를 가지고 있는 사람들 사이에는 어떤 포함 관계가 있을까?

다음 명제에 대하여 알아보자.

                       ‘정사각형은 직사각형이다.’

탐구 1 어떤 사각형이 정사각형일 때, 이것은 직사각형이 되기 위한 조건을 충분히 갖추었다고 할 수 있는가 ?

탐구 2 어떤 사각형이 직사각형이 되기 위하여 정사각형이라는 조건이 반드시 필요한가?

   탐구 1에서 어떤 사각형이 정사각형이면 직사각형이므로 정사각형이라는 조건은 직사각형임을 주장하기에 충분하다. 그러나 탐구 2에서 어떤 사각형이 직사각형이 되기 위하여 반드시 정사각형일 필요는 없다. 반면, 어떤 사각형이 정사각형이려면 적어도 직사각형이라는 조건은 반드시 필요하다.

  일반적으로 명제 가 참일 때, 이것을 기호로

와 같이 나타내고, 는 이기 위한 필요조건이라고 한다. 이것은 가 성립하기 위해서는 최소한 정도는 이미 성립할 필요가 있다는 의미이다. 또, 는 이기 위한 충분조건이라고 한다. 이것은 정도면 가 성립하는 데 충분하다는 의미이다. 따라서 탐구 활동에서 알아본 내용을 정리하면 직사각형은 정사각형이기 위한 필요조건이고 정사각형은 직사각형이기 위한 충분조건이다.

문제 ❸

다음 안에 필요 또는 충분 가운데 알맞은 것을 써넣어라.

(1) 은 이기 위한 조건이다.

(2) 은 이기 위한 조건이다.

(3) 이등변삼각형은 정삼각형이기 위한 조건이다.

(4) 이고 은 이기 위한 조건이다.

036  Ⅰ. 집합과 명제

 명제 와 그 역 가 모두 참일 때, 즉

 그리고

일 때, 이것을 기호로 

와 같이 나타내고, 는 이기 위한 필요충분조건 또는 는 이기 위한 필요충분조건이라고 한다. 따라서 가 이기 위한 필요충분조건임을 보이려면 와 를 모두 증명하여야 한다.

삼각형에 대하여 정의된 다음 세 가지 조건에 대하여 안에 필요, 충분, 필요충분 가운데 가장 알맞은 것을 써넣어라.

                   가 직각이등변삼각형이다.

                   가 직각삼각형이다.

                   가 이등변삼각형이다.

(1) 는 이기 위한 조건이다.

(2) 는 이기 위한 조건이다.

(3) 는 ‘ 그리고 ’이기 위한 조건이다.

풀이 (1) 이므로 는 이기 위한 충분조건이다.

(2) 이므로 는 이기 위한 충분조건이다.

(3) (1), (2)에 의하여

이다. 그런데 직각삼각형이면서 동시에 이등변삼각형이면 직각이등변삼각형이므로

이다. 따라서 는 ‘ 그리고 ’이기 위한 필요충분조건이다.

                        답 (1) 충분  (2) 충분  (3) 필요충분

문제 ❹

다음 안에 필요, 충분, 필요충분 가운데 가장 알맞은 것을 써넣어라.

(1) 은 이기 위한 조건이다. (단, 는 실수이다.)

(2) 은 이고 이기 위한 조건이다.

(3) 정사각형은 평행사변형이기 위한 조건이다.

(4) 는 이기 위한 조건이다.

2. 명제 037

다음 명제 가운데 참인 것의 번호를 찾고, 각 번호에 주어진 글자를 모아서 적당한 문장을 만들어라.

다음의 원칙들을 모두 따르면 아래와 같은 한 주의 식단을 완성할 수 있다.

이와 같이 몇 개의 원칙을 제시하여 위와 같은 표가 만들어지도록 문제를 만들어 보아라. 단 원칙의 개수는 적을수록 좋다.

다음 문장들이 어떤 의미인지 자유롭게 토론하여 보자.

(1) 사랑은 결혼하기 위한 충분조건이다.

(2) 사랑은 결혼하기 위한 필요조건이다.

(3) 강한 체력은 축구 경기에서 이기기 위한 충분조건이다.

(4) 강한 체력은 축구 경기에서 이기기 위한 필요조건이다.

038  Ⅰ. 집합과 명제

2. 명제 039

러셀의 역설

수학 이야기 • •

  집합론이 처음 세상에 나오고 얼마 되지 않아서 여러 가지 모순이 발견되었다. 그 중에서도 영국의 논리학자인 러셀(Russell, B. A. W. ; 1872～1970)의 역설이 유명한데 그 내용은 다음과 같다.

  러셀은 집합에 대하여 모르는 일반인이 자신의 역설을 좀 더 이해하기 쉽도록 다음과 같은 예를 들어서 설명하였다.

  어느 마을에 단 한 명의 이발사가 있다. 이 이발사는 자신의 수염을 스스로 깎지 않는 모든 마을 사람들의 수염을 깎아 준다고 한다. 그러면 이 이발사는 자신의 수염을 깎을 것인가, 깎지 않을 것인가?

  만일 이 이발사가 자신의 수염을 깎는다고 하면 자신의 주장에 의해 이발사가 수염을 깎아 주는 대상에서 제외되기 때문에 수염을 깎아 주어서는 안 된다. 반대로 자신의 수염을 깎지 않는다면 그 대상에 포함되기 때문에 자신이 수염을 깎아 주어야 한다. 이것은 모순이다.

  러셀의 역설은 당시 연구되던 집합론 자체에 심각한 모순이 있음을 지적하였을 뿐만 아니라 과연 집합이 무엇인가 하는 근본적인 의문을 제기한 것이다. 그 후 모순을 극복할 수 있는 여러 가지 방법들이 제안되었으며, 그 제안들에 대한 활발한 논의는 수학뿐만 아니라 논리학 발전에 크게 이바지하였다.

040  Ⅰ. 집합과 명제